Teilbarkeit

Im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Division nicht uneingeschränkt ausführbar, d.h. die positiven natürlichen Zahlen N+=N∖{0}\dom {N^+}=\dom N\setminus \{0\} bilden bzgl. der Multiplikation keine Gruppe.
Diese Feststellung motiviert die folgenden Definition:
Eine natürliche Zahl mm heißt Teiler einer natürlichen Zahl nn, wenn es eine natürliche Zahl xx gibt, mit n=m⋅xn=m\cdot x. Schreibweise: m∣nm|n. man sagt dann auch, dass nn durch mm teilbar ist.
Eine natürliche Zahl nn heißt gerade, wenn 2∣n2|n, andernfalls heißt nn ungerade. Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade.

Beispiel

33 ist Teiler von 66 (3∣63|6), denn 6=3⋅26=3\cdot 2.

Satz 5303A (Eigenschaften der Teilbarkeit)

Seien k,mk,m und nn positive natürliche Zahlen. Dann gilt
  1. n∣nn|n für alle nn (Reflexivität)
  2. Aus m∣nm|n und n∣mn|m folgt m=nm=n (Antisymmetrie)
  3. Aus k∣mk|m und m∣nm|n folgt k∣nk|n (Transitivität)
  4. 1∣n1|n für alle nn

Beweis

(i) und (iv) gelten wegen n=n⋅1n=n\cdot 1
(ii) Sein m∣nm|n und n∣mn|m, dann gibt es ein xx mit n=m⋅xn=m\cdot x und ein yy mit m=y⋅nm=y\cdot n. Also n=x⋅y⋅nn=x\cdot y\cdot n und x⋅y=1x\cdot y=1. Da aber xx und yy natürliche Zahlen sind, muss x=y=1x=y=1 gelten und daher m=nm=n.
(iii) Mit k∣mk|m gibt es ein xx, so dass m=k⋅xm=k\cdot x und mit m∣nm|n gibt es dementsprechend ein yy, so dass n=m⋅yn=m\cdot y. Also gilt: n=k⋅x⋅yn=k\cdot x\cdot y und mit z=x⋅yz=x\cdot y ergibt sich die Behauptung sofort. □\qed

Wegen der Eigenschaften (i)-(iii) aus Satz 5303A ist die Teilbarkeit eine teilweise Ordnung in den positiven natürlichen Zahlen. Diese Ordnung ist keine totale Ordnung, da z.B. 22 und 33 (und im allgemeinen alle teilerfremden Zahlen) bzgl. dieser Ordnung nicht vergleichbar sind.

Satz 5303L

Seien kk, mm und nn positive natürliche Zahlen. Dann gilt:
  1. k∣m∧k∣n  ⟹  k∣(m+n)k|m\and k|n\implies k|(m+n)
  2. k∣m∧k∣n∧m>n  ⟹  k∣(m−n)k|m\and k|n\and m>n \implies k|(m-n)

Beweis

(i) Wegen k∣mk|m gibt es ein xx mit m=kxm=kx und ebenso gibt es wegen k∣nk|n ein yy mit n=kyn=ky. Nun gilt: m+n=kx+ky=k(x+y)m+n=kx+ky=k(x+y) und damit k∣(m+n)k|(m+n).
(ii) Beweis ist analog zu (i). □\qed

Satz 5417C (Division mit Rest)

Seien aa und bb natürliche Zahlen mit b≠0b\neq 0, dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen qq und rr, so dass
a=q⋅b+ra=q\cdot b+r und 0≤r<b0\leq r<b(1)
gilt. Die Zahl qq heißt Quotient und die Zahl rr heißt der Rest bei der Division durch bb.
 
 

Ich stimme mit der Mathematik nicht überein. Ich meine, daß die Summe von Nullen eine gefährliche Zahl ist.

Stanislaw Jerzy Lec

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