Teilbarkeit

Im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Division nicht uneingeschränkt ausführbar, d.h. die positiven natürlichen Zahlen \(\displaystyle \dom {N^+}=\dom N\setminus \{0\}\) bilden bzgl. der Multiplikation keine Gruppe.
Diese Feststellung motiviert die folgenden Definition:
Eine natürliche Zahl \(\displaystyle m\) heißt Teiler einer natürlichen Zahl \(\displaystyle n\), wenn es eine natürliche Zahl \(\displaystyle x\) gibt, mit \(\displaystyle n=m\cdot x\). Schreibweise: \(\displaystyle m|n\). man sagt dann auch, dass \(\displaystyle n\) durch \(\displaystyle m\) teilbar ist.
Eine natürliche Zahl \(\displaystyle n\) heißt gerade, wenn \(\displaystyle 2|n\), andernfalls heißt \(\displaystyle n\) ungerade. Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade.
 
 

Beispiel

\(\displaystyle 3\) ist Teiler von \(\displaystyle 6\) (\(\displaystyle 3|6\)), denn \(\displaystyle 6=3\cdot 2\).

Satz 5303A (Eigenschaften der Teilbarkeit)

Seien \(\displaystyle k,m\) und \(\displaystyle n\) positive natürliche Zahlen. Dann gilt
  1. \(\displaystyle n|n\) für alle \(\displaystyle n\) (Reflexivität)
  2. Aus \(\displaystyle m|n\) und \(\displaystyle n|m\) folgt \(\displaystyle m=n\) (Antisymmetrie)
  3. Aus \(\displaystyle k|m\) und \(\displaystyle m|n\) folgt \(\displaystyle k|n\) (Transitivität)
  4. \(\displaystyle 1|n\) für alle \(\displaystyle n\)

Beweis

(i) und (iv) gelten wegen \(\displaystyle n=n\cdot 1\)
(ii) Sein \(\displaystyle m|n\) und \(\displaystyle n|m\), dann gibt es ein \(\displaystyle x\) mit \(\displaystyle n=m\cdot x\) und ein \(\displaystyle y\) mit \(\displaystyle m=y\cdot n\). Also \(\displaystyle n=x\cdot y\cdot n\) und \(\displaystyle x\cdot y=1\). Da aber \(\displaystyle x\) und \(\displaystyle y\) natürliche Zahlen sind, muss \(\displaystyle x=y=1\) gelten und daher \(\displaystyle m=n\).
(iii) Mit \(\displaystyle k|m\) gibt es ein \(\displaystyle x\), so dass \(\displaystyle m=k\cdot x\) und mit \(\displaystyle m|n\) gibt es dementsprechend ein \(\displaystyle y\), so dass \(\displaystyle n=m\cdot y\). Also gilt: \(\displaystyle n=k\cdot x\cdot y\) und mit \(\displaystyle z=x\cdot y\) ergibt sich die Behauptung sofort. \(\displaystyle \qed\)
Wegen der Eigenschaften (i)-(iii) aus Satz 5303A ist die Teilbarkeit eine teilweise Ordnung in den positiven natürlichen Zahlen. Diese Ordnung ist keine totale Ordnung, da z.B. \(\displaystyle 2\) und \(\displaystyle 3\) (und im allgemeinen alle teilerfremden Zahlen) bzgl. dieser Ordnung nicht vergleichbar sind.

Satz 5303L

Seien \(\displaystyle k\), \(\displaystyle m\) und \(\displaystyle n\) positive natürliche Zahlen. Dann gilt:
  1. \(\displaystyle k|m\and k|n\implies k|(m+n)\)
  2. \(\displaystyle k|m\and k|n\and m>n \implies k|(m-n)\)

Beweis

(i) Wegen \(\displaystyle k|m\) gibt es ein \(\displaystyle x\) mit \(\displaystyle m=kx\) und ebenso gibt es wegen \(\displaystyle k|n\) ein \(\displaystyle y\) mit \(\displaystyle n=ky\). Nun gilt: \(\displaystyle m+n=kx+ky=k(x+y)\) und damit \(\displaystyle k|(m+n)\).
(ii) Beweis ist analog zu (i). \(\displaystyle \qed\)

Satz 5417C (Division mit Rest)

Seien \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) natürliche Zahlen mit \(\displaystyle b\neq 0\), dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen \(\displaystyle q\) und \(\displaystyle r\), so dass
(1)
\(\displaystyle a=q\cdot b+r\) und \(\displaystyle 0\leq r<b\)
gilt. Die Zahl \(\displaystyle q\) heißt Quotient und die Zahl \(\displaystyle r\) heißt der Rest bei der Division durch \(\displaystyle b\).

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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