Teilweise geordnete Mengen

Eine Menge \(\displaystyle M\) heißt teilweise geordnet, oder halbgeordnet wenn sie mit einer Relation \(\displaystyle \leq\) versehen ist, die den folgenden Eigenschaften genügt:
  1. \(\displaystyle x\leq x\) für alle \(\displaystyle x\in M\) (Reflexivität)
  2. Für alle \(\displaystyle x,y\in M\) gilt: Aus \(\displaystyle x\leq y\) und \(\displaystyle y\leq x\) folgt \(\displaystyle x=y\) (Antisymmetrie)
  3. Für alle \(\displaystyle x,y,z\in M\) gilt: Aus \(\displaystyle x\leq y\) und \(\displaystyle y\leq z\) folgt \(\displaystyle x\leq z\) (Transitivität)
Im Englischen heißen teilweise geordnete Mengen auch Posets von Partially ordered set.
Die Bezeichnung "teilweise" wird stellenweise auch weggelassen.
Gilt für zwei Elemente \(\displaystyle x\) und \(\displaystyle y\) weder \(\displaystyle x\leq y\) noch \(\displaystyle y\leq x\), so heißen die Elemente unvergleichbar.
Im allgemeinen müssen in einer teilweisen Ordnung zwei Elemente nicht vergleichbar sein. Sind je zwei Elemente vergleichbar, so heißt die Ordnung linear.
\(\displaystyle \leq\) ist linear \(\displaystyle :\iff \forall x,y: xRy \or yRx\).
Ist die Ordnung linear, so spricht man auch von einer totalen Ordnung oder einer kettengeordneten Menge. Eine total geordnete Teilmenge von \(\displaystyle M\) heißt auch Kette.
Aus der Linearität folgt die Reflexivität.
 
 

Beispiele

1) Die Zahlenbereiche wie die natürlichen Zahlen \(\displaystyle \domN\), ganzen Zahlen \(\displaystyle \domZ\) oder reellen Zahlen \(\displaystyle \domR\) bilden bzgl. der natürlichen Ordnungsrelation \(\displaystyle \leq\) lineare Ordnungen.
2) Die natürlichen Zahlen \(\displaystyle \domN\) bilden bzgl. der Teilbarkeit eine teilweise Ordnung (siehe Satz 5303A).
Diese Ordnung ist nicht linear, da zwei teilerfremde Zahlen nicht vergleichbar sind.
3) Die Potenzmenge einer beliebigen Menge \(\displaystyle M\) bildet bzgl. der Inklusion eine teilweise geordnete Menge. Diese Ordnung ist nicht linear.

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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