Infimum und Supremum in teilweise geordneten Mengen

Sei MM eine teilweise geordnete Menge mit der Ordnung ≤\leq und AA eine nichtleere Teilmenge A⊆MA\subseteq M.

Minimum und Maximum

Unter dem Minimum min⁡(A)\min (A) von AA verstehen wir alle unteren Schranken von AA, die zu AA gehören und dementsprechend ist das Maximum max⁡(A)\max (A) die Menge aller oberen Schranken von AA, die zu AA gehört. Mittels Minorante und Majorante kann man die Definition elegant wie folgt ausdrücken:
min⁡(A):=A∩Mi⁡(A)\min (A):=A\cap \Mi(A) sowie max⁡(A):=A∩Ma⁡(A)\max (A):=A\cap \Ma(A)(1)
Die Sprechweise "das" Minimum/ Maximum ist gerechtfertigt durch
 
 

Satz 1602

Existieren Minimum (Maximum) einer Menge AA so sind sie eindeutig bestimmt.

Beweis

Seien x,y∈min⁡(A)x,y\in \min(A). Dann gilt x,y∈Ax,y\in A und x,y∈Mi⁡(A)x,y\in \Mi(A), damit sind xx und yy beide untere Schranken von AA, also gilt sowohl x≤yx\leq y als auch y≤xy\leq x. Damit gilt x=yx=y.
Analog wird der Beweis fürs Maximum geführt. □\qed

Infimum und Supremum

Das Infimum inf⁡(A)\inf(A) einer Menge AA ist die größte untere Schranke von AA und das Supremum sup⁡(A)\sup(A) ist die kleinste obere Schranke von AA. Mit (1) können wir also schreiben:
inf⁡(A)=max⁡(Mi⁡(A))=Mi⁡(A)∩Ma⁡(Mi⁡(A))\inf(A)=\max(\Mi(A))=\Mi(A)\cap\Ma(\Mi(A)) sup⁡(A)=min⁡(Ma⁡(A))=Ma⁡(A)∩Mi⁡(Ma⁡(A))\sup(A)=\min(\Ma(A))=\Ma(A)\cap\Mi(\Ma(A))
Nach Satz 1602 sind auch Infimum und Supremum eindeutig bestimmt, sofern sie existieren, da sie als Minimum bzw. Maximum von Minoranten- bzw. Majorantenmengen definiert sind.
Eine andere Formulierung der Definition ist gegeben durch

Satz 160V

Sei s=inf⁡(A)s=\inf(A), dann gilt s≤as\leq a für alle a∈Aa\in A und für alle t∈Mi⁡(A)t\in \Mi(A) (für die also t≤at\leq a für alle a∈Aa\in A ist) gilt: s≥ts\geq t. Das Infimum ist also die größte untere Schranke. Insbesondere gilt: falls x≤ax\leq a für alle a∈Aa\in A, dann ist auch x≤inf⁡(A)x\leq \inf(A).
Sei s=sup⁡(A)s=\sup(A), dann gilt s≥as\geq a für alle a∈Aa\in A und für alle t∈Ma⁡(A)t\in \Ma(A) (für die also t≥at\geq a für alle a∈Aa\in A ist) gilt: s≤ts\leq t. Das Supremum ist also die kleinste obere Schranke. Insbesondere gilt: falls x≥ax\geq a für alle a∈Aa\in A, dann ist auch x≥sup⁡(A)x\geq \sup(A).

Beweis

Man schreibe die Definitionen explizit auf und mache sich klar, was Majorante/ Minorante bedeutet. □\qed

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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