Infimum und Supremum in teilweise geordneten Mengen

Sei \(\displaystyle M\) eine teilweise geordnete Menge mit der Ordnung \(\displaystyle \leq\) und \(\displaystyle A\) eine nichtleere Teilmenge \(\displaystyle A\subseteq M\).

Minimum und Maximum

Unter dem Minimum \(\displaystyle \min (A)\) von \(\displaystyle A\) verstehen wir alle unteren Schranken von \(\displaystyle A\), die zu \(\displaystyle A\) gehören und dementsprechend ist das Maximum \(\displaystyle \max (A)\) die Menge aller oberen Schranken von \(\displaystyle A\), die zu \(\displaystyle A\) gehört. Mittels Minorante und Majorante kann man die Definition elegant wie folgt ausdrücken:
(1)
\(\displaystyle \min (A):=A\cap \Mi(A)\) sowie \(\displaystyle \max (A):=A\cap \Ma(A)\)
Die Sprechweise "das" Minimum/ Maximum ist gerechtfertigt durch
 
 

Satz 1602

Existieren Minimum (Maximum) einer Menge \(\displaystyle A\) so sind sie eindeutig bestimmt.

Beweis

Seien \(\displaystyle x,y\in \min(A)\). Dann gilt \(\displaystyle x,y\in A\) und \(\displaystyle x,y\in \Mi(A)\), damit sind \(\displaystyle x\) und \(\displaystyle y\) beide untere Schranken von \(\displaystyle A\), also gilt sowohl \(\displaystyle x\leq y\) als auch \(\displaystyle y\leq x\). Damit gilt \(\displaystyle x=y\).
Analog wird der Beweis fürs Maximum geführt. \(\displaystyle \qed\)

Infimum und Supremum

Das Infimum \(\displaystyle \inf(A)\) einer Menge \(\displaystyle A\) ist die größte untere Schranke von \(\displaystyle A\) und das Supremum \(\displaystyle \sup(A)\) ist die kleinste obere Schranke von \(\displaystyle A\). Mit (1) können wir also schreiben:
\(\displaystyle \inf(A)=\max(\Mi(A))=\Mi(A)\cap\Ma(\Mi(A))\) \(\displaystyle \sup(A)=\min(\Ma(A))=\Ma(A)\cap\Mi(\Ma(A))\)
Nach Satz 1602 sind auch Infimum und Supremum eindeutig bestimmt, sofern sie existieren, da sie als Minimum bzw. Maximum von Minoranten- bzw. Majorantenmengen definiert sind.
Eine andere Formulierung der Definition ist gegeben durch

Satz 160V

Sei \(\displaystyle s=\inf(A)\), dann gilt \(\displaystyle s\leq a\) für alle \(\displaystyle a\in A\) und für alle \(\displaystyle t\in \Mi(A)\) (für die also \(\displaystyle t\leq a\) für alle \(\displaystyle a\in A\) ist) gilt: \(\displaystyle s\geq t\). Das Infimum ist also die größte untere Schranke. Insbesondere gilt: falls \(\displaystyle x\leq a\) für alle \(\displaystyle a\in A\), dann ist auch \(\displaystyle x\leq \inf(A)\).
Sei \(\displaystyle s=\sup(A)\), dann gilt \(\displaystyle s\geq a\) für alle \(\displaystyle a\in A\) und für alle \(\displaystyle t\in \Ma(A)\) (für die also \(\displaystyle t\geq a\) für alle \(\displaystyle a\in A\) ist) gilt: \(\displaystyle s\leq t\). Das Supremum ist also die kleinste obere Schranke. Insbesondere gilt: falls \(\displaystyle x\geq a\) für alle \(\displaystyle a\in A\), dann ist auch \(\displaystyle x\geq \sup(A)\).

Beweis

Man schreibe die Definitionen explizit auf und mache sich klar, was Majorante/ Minorante bedeutet. \(\displaystyle \qed\)

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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