Sätze zum Infimum und Supremum in teilweise geordneten Mengen

Der nachfolgende Satz klärt die Voraussetzungen unter denen das Minimum (Maximum) mit dem Infimum (Supremum) übereinstimmen.

Satz 160K (Zusammenhang zwischen Minimum/ Maximum und Infimum/Supremum)

Sei (M,≤)(M,\leq) eine teilweise geordnete Menge. A⊆MA\subseteq M eine Teilmenge. Dann gilt:
  1. Existiert das Minimum (Maximum) von AA so stimmt es mit dem Infimum (Supremum) überein.
  2. Aus a=inf⁡(A)a=\inf(A) (a=sup⁡(A)a=\sup(A)) und a∈Aa\in A folgt a=max⁡(A)a=\max(A) (a=min⁡(A)a=\min(A))
 
 

Beweis

(i) Sei a=min⁡(A)a=\min(A). Dann gilt a∈Aa\in A und a∈Mi⁡(A)a\in \Mi(A). Nach Satz 1601 (i) ist nun auch a∈Ma⁡(Mi⁡(A))a\in\Ma(\Mi(A)) und damit gilt a∈Mi⁡(A)∩Ma⁡(Mi⁡(A))=inf⁡(A)a\in \Mi(A)\cap \Ma(\Mi(A))=\inf(A). Wegen der Eindeutigkeit des Infimums also a=inf⁡(A)a=\inf(A). Supremum analog.
(ii) Es gelte a=inf⁡(A)a=\inf(A) und a∈Aa\in A. Dann ist a∈Mi⁡(A)∩Ma⁡(Mi⁡(A))a\in \Mi(A)\cap \Ma(\Mi(A)), also a∈Mi⁡(A)a\in\Mi(A). Damit ist auch a∈A∩Mi⁡(A)=min⁡(A)a\in A\cap\Mi(A)=\min(A) und wegen der Eindeutigkeit des Minimums (Satz 1602) gilt a=min⁡(A)a=\min(A). Supremum analog. □\qed
Auch wenn sich die Behauptungen des folgenden Satzes trivial anhören, so müssen sie dennoch bewiesen werden.

Satz 160J

Seien x,y∈Mx,y\in M Elemente einer teilweise geordneten Menge MM. Dann sind die folgenden Aussagen paarweise äquivalent:
  1. x≤yx\leq y
  2. max⁡(x,y)=sup⁡(x,y)=y\max(x,y)=\sup(x,y)=y
  3. min⁡(x,y)=inf⁡(x,y)=x\min(x,y)=\inf(x,y)=x

Beweis

Die Gleichheit von Minimum (Maximum) und Infimum (Supremum) ergibt sich aus Satz 160K.
(i)   ⟹  \implies (ii) und (i)   ⟹  \implies (iii) folgen aus der Tatsache, dass yy obere Schranke von {x,y}\{x,y\} bzw. xx untere Schranke von {x,y}\{x,y\} sind. Damit ist max⁡(x,y)=y\max(x,y)=y und min⁡(x,y)=x\min(x,y)=x klar.
(ii)   ⟹  \implies (i) max⁡(x,y)=y\max(x,y)=y bedeutet, dass yy obere Schranke von {x,y}\{x,y\} ist und damit y≥xy\geq x gilt.
(iii)   ⟹  \implies (i) min⁡(x,y)=x\min(x,y)=x bedeutet, dass xx untere Schranke von {x,y}\{x,y\} ist und damit x≤yx\leq y gilt. □\qed

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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Teilweise geordnete Mengen