Isotone Abbildungen

Seien MM und NN zwei teilweise geordnete Mengen und f:M→Nf:M\rightarrow N eine Abbildung. ff heißt isoton oder ordnungserhaltend genau dann, wenn für alle a,b∈Ma,b\in M gilt: a≤b  ⟹  f(a)≤f(b)a\leq b\implies f(a)\leq f(b).
Die Abbildung heißt antiton, wenn gilt: a≤b  ⟹  f(a)≥f(b)a\leq b\implies f(a)\geq f(b).
ff ist ein Ordnungsisomorphismus zwischen MM und NN genau dann, wenn ff bijektiv ist und sowohl ff als auch die Umkehrabbildung f −1f^{\, \me} isoton sind. Die beiden Mengen MM und NN heißen dann auch ordnungsisomorph. Beispiel 160G lässt sich damit als Ordnungsisomorphismus deuten.
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Eine isotone Bijektion muss nicht notwendigerweise eine isotone Umkehrung haben, daher ist diese Forderung in der Definition des Ordnungsisomorphismus wesentlich.
Für die nebenstehenden Hassediagramme ist die identische Abbildung id⁡:A→B\id:A\rightarrow B (a↦aa\mapto a, b↦bb\mapto b, c↦cc\mapto c) isoton. Die Umkehrung ist nicht isoton, da a≤ba\leq b in BB; jedoch aa und bb in AA unvergleichbar sind.
Für linear geordnete Mengen gilt jedoch:
 
 

Satz 160F (Isotone Bijektionen als Ordnungsisomorphismen linear geordneter Mengen)

Seien MM und NN linear geordnete Mengen und f:M→Nf:M\rightarrow N eine isotone Bijektion. Dann ist die Umkehrabbildung von ff isoton und damit ist ff ein Ordnungsisomorphismus.

Beweis

Seien n1,n2∈Nn_1,n_2\in N mit n1≤n2n_1\leq n_2 und m1=f −1(n1)m_1=f^{\, \me}(n_1) sowie m2=f −1(n2)m_2=f^{\, \me}(n_2). Wir müssen zeigen, dass dann m1≤m2m_1\leq m_2 gilt. Angenommen m1≰m2m_1\nleq m_2, dann ist m2<m1m_2<m_1, da die Ordnung linear ist und wegen der Isotonie und Bijektivität von ff gilt: f(m2)<f(m1)f(m_2)<f(m_1), d.h. n2<n1n_2<n_1, im Widerspruch zu n1≤n2n_1\leq n_2, womit m1≤m2m_1\leq m_2 gezeigt ist. □\qed

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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