Verbände

Sei \(\displaystyle M\) eine teilweise geordnete Menge mit der Ordnung \(\displaystyle \leq\). \(\displaystyle M\) heißt verbandsgeordnete Menge oder Verband, wenn folgende Eigenschaften gelten:
  1. Zu je zwei Elementen \(\displaystyle a,b\in M\) existiert das Infimum \(\displaystyle \inf(a,b)\)
  2. Zu je zwei Elementen \(\displaystyle a,b\in M\) existiert das Supremum \(\displaystyle \sup(a,b)\)
Damit besitzen dann auch endliche Teilmengen von \(\displaystyle M\) Infimum und Supremum (Beweis durch vollständige Induktion).
Ist \(\displaystyle M\) selbst endlich, so besitzt \(\displaystyle M\) sowohl ein Minimum, das Ordnungsnull heißt, als auch ein Maximum, welches Ordnungseins genannt wird.
Jede kettengeordnete Menge ist ein Verband. Für jede zweielementige Teilmenge existieren dann Minimum und Maximum und sind mit dem Infimum und Supremum identische.
 
 

Beispiele

Nv1.png
Das nebenstehende Hassediagramm veranschaulicht einen Verband (ohne hellrote Linie). Es gilt \(\displaystyle d=\sup(a,b)\) und \(\displaystyle a=\inf(c,d)\).
Nimmt man die hellrote Linie hinzu, so ist die Verbandsstruktur zerstört, da sowohl \(\displaystyle c\) als auch \(\displaystyle d\) obere Schranken von \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) sind. Wegen ihrer Unvergleichbarkeit existiert jedoch \(\displaystyle d=\sup(a,b)\) nicht.

Algebraische Schreibweise

Um Gesetze mit Supremum und Infimum ohne tiefe Klammerung formulieren zu können, werden in Verbänden die Symbole \(\displaystyle \vsup \, \) für Supremum und \(\displaystyle \vinf \, \) für Infimum verwendet. Wir definieren:
\(\displaystyle a\vsup b:=\sup(a,b)\, \)
\(\displaystyle a\vinf b:=\inf(a,b)\)

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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