Gleichungen

Terme

Terme sind Zusammensetzungen von Zahlen, Variablen und Funktionen gemäß den Rechenregeln.
Beispielsweise ist \(\displaystyle \dfrac {\sqrt{x+y}} {4}\) ein Term.
Zusammensetzungen ohne Sinn sollen keinen Term ergeben; z.B. \(\displaystyle \sqrt - \, \, 3 +/ x\).

Gleichungen

Wenn zwei Terme \(\displaystyle T_1\) und \(\displaystyle T_2\) durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind \(\displaystyle T_1=T_2\), erhält man eine Gleichung; z.B: \(\displaystyle \dfrac x {y+1}=\sqrt{z-2}\).
Die beiden Terme heißen Seiten der Gleichung. Enthalten die Terme keine Variablen liegt eine Aussage vor, die entweder wahr oder falsch ist.
Der Definitionsbereich einer Gleichung bestimmt, welche Werte die Variablen annehmen dürfen.
 
 

Lösungen

Unter den Lösungen oder der Lösungsmenge einer Gleichung versteht man alle Belegungen der Variablen, für die die entstehende Aussage wahr wird. Gibt es solche Belegungen nicht, so besitzt die Gleichung keine Lösungen, man sagt, die Lösungsmenge ist leer.
Die Gleichung \(\displaystyle x+2=3\) besitzt die einzige Lösung \(\displaystyle 1\); die Lösungsmenge der Gleichung \(\displaystyle x^2=-1\) ist im Bereich der reellen Zahlen \(\displaystyle \dom R\) leer. (Im Bereich der komplexen Zahlen \(\displaystyle \dom C\) besitzt die Gleichung zwei Lösungen \(\displaystyle \i\) und \(\displaystyle \uminus \i\)).
Dieses Beispiel zeigt, dass die Lösungsmenge vom Definitionsbereich der Gleichung abhängt.

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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