Der Satz von Vieta

Sei
(1)
\(\displaystyle x^2+px+q=0 \)
eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \(\displaystyle x_1\) und \(\displaystyle x_2\). Der Satz von Vieta stellt eine Beziehung zwischen den Lösungen und den Koeffizienten \(\displaystyle p\) und \(\displaystyle q\) her.

Satz von Vieta

Seien \(\displaystyle x_1\) und \(\displaystyle x_2\) die Lösungen der quadratischen Gleichung (1), dann gilt:
\(\displaystyle p = -(x_1 +x_2) \),
\(\displaystyle q = x_1 \cdot x_2 \).

Beweis

\(\displaystyle 0 = x^2 + px + q\) \(\displaystyle = (x-x_1) \cdot (x-x_2)\) \(\displaystyle = x^2 - (x_1+x_2)\cdot x + x_1\cdot x_2\)Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich die Behauptung. \(\displaystyle \qed\)
 
 

Beispiele

Aufstellen eine quadratischen Gleichung zu vorgegebenen Lösungen

Seien \(\displaystyle x_0=1\) Und \(\displaystyle x_1=2\) die Lösungen einer quadratischen Gleichung. Mittels des Satzes von Vieta können wir diese sofort aufstellen: \(\displaystyle x^2-3x+2=0\).

Spezielle Gleichungssysteme

Zu lösen ist das Gleichungssystem
\(\displaystyle a+b=3\) und \(\displaystyle a\cdot b=2\).
Nach dem Satz des Vieta sind die Lösungen genau die der quadratischen Gleichung \(\displaystyle x^2-3x+2=0\). Deren Lösungen \(\displaystyle a=1\) und \(\displaystyle b=2\) können wir einfach mit Formel 5513D erhalten. (Oder wir greifen auf obiges Beispiel zurück).

Verallgemeinerung

Kubische Gleichungen

Für eine allgemeine kubische Gleichung
\(\displaystyle 0= x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0 \)\(\displaystyle = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \)
mit den Lösungen \(\displaystyle x_1\), \(\displaystyle x_2\) und \(\displaystyle x_3\) gelten die folgenden Gleichungen.
\(\displaystyle a_2 = -(x_1+x_2+x_3)\),
\(\displaystyle a_1 = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\),
\(\displaystyle a_0 = -(x_1x_2x_3)\).

Gleichungen 4. Grades

Für eine allgemeine Gleichung 4. Grades
\(\displaystyle 0= x^4 +a_3\cdot x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0 \)\(\displaystyle = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) \)
mit den Lösungen \(\displaystyle x_1\), \(\displaystyle x_2\), \(\displaystyle x_3\) und \(\displaystyle x_4\) gelten die folgenden Gleichungen
\(\displaystyle a_3 = -(x_1+x_2+x_3+x_4)\),
\(\displaystyle a_2 = x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\),
\(\displaystyle a_1 = -(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)\),
\(\displaystyle a_0 = x_1x_2x_3x_4\).

Folgt man diesem Schema kann man die Satz auch für beliebige Polynomgleichungen
\(\displaystyle 0 = x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots{}+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x^1+a_0 \)
mit den Lösungen \(\displaystyle x_1\dots x_n\) verallgemeinern. Das Niederschreiben der einzelnen Terme ist mit wachsendem \(\displaystyle n\) jedoch etwas unübersichtlich.Relativ einfach sind die Formeln für \(\displaystyle a_0\) und \(\displaystyle a_{n-1}\):
\(\displaystyle a_0= (\me)^n\prod\limits_{k=1}^n x_k\),
\(\displaystyle a_{n-1}=-\sum\limits_{k=1}^n x_k \)

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе