Der Satz von Vieta

Sei
x2+px+q=0 x^2+px+q=0 (1)
eine quadratische Gleichung mit den Lösungen x1x_1 und x2x_2. Der Satz von Vieta stellt eine Beziehung zwischen den Lösungen und den Koeffizienten pp und qq her.

Satz von Vieta

Seien x1x_1 und x2x_2 die Lösungen der quadratischen Gleichung (1), dann gilt:
p=−(x1+x2) p = -(x_1 +x_2) ,
q=x1⋅x2 q = x_1 \cdot x_2 .

Beweis

0=x2+px+q0 = x^2 + px + q =(x−x1)⋅(x−x2)= (x-x_1) \cdot (x-x_2) =x2−(x1+x2)⋅x+x1⋅x2= x^2 - (x_1+x_2)\cdot x + x_1\cdot x_2 Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich die Behauptung. □\qed
 
 

Beispiele

Aufstellen eine quadratischen Gleichung zu vorgegebenen Lösungen

Seien x0=1x_0=1 Und x1=2x_1=2 die Lösungen einer quadratischen Gleichung. Mittels des Satzes von Vieta können wir diese sofort aufstellen: x2−3x+2=0x^2-3x+2=0.

Spezielle Gleichungssysteme

Zu lösen ist das Gleichungssystem
a+b=3a+b=3 und a⋅b=2a\cdot b=2.
Nach dem Satz des Vieta sind die Lösungen genau die der quadratischen Gleichung x2−3x+2=0x^2-3x+2=0. Deren Lösungen a=1a=1 und b=2b=2 können wir einfach mit Formel 5513D erhalten. (Oder wir greifen auf obiges Beispiel zurück).

Verallgemeinerung

Kubische Gleichungen

Für eine allgemeine kubische Gleichung
0=x3+a2⋅x2+a1⋅x+a0 0= x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0 =(x−x1)(x−x2)(x−x3) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
mit den Lösungen x1x_1, x2x_2 und x3x_3 gelten die folgenden Gleichungen.
a2=−(x1+x2+x3)a_2 = -(x_1+x_2+x_3),
a1=x1x2+x1x3+x2x3a_1 = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,
a0=−(x1x2x3)a_0 = -(x_1x_2x_3).

Gleichungen 4. Grades

Für eine allgemeine Gleichung 4. Grades
0=x4+a3⋅x3+a2⋅x2+a1⋅x+a0 0= x^4 +a_3\cdot x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0 =(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)
mit den Lösungen x1x_1, x2x_2, x3x_3 und x4x_4 gelten die folgenden Gleichungen
a3=−(x1+x2+x3+x4)a_3 = -(x_1+x_2+x_3+x_4),
a2=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4a_2 = x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4,
a1=−(x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)a_1 = -(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4),
a0=x1x2x3x4a_0 = x_1x_2x_3x_4.

Folgt man diesem Schema kann man die Satz auch für beliebige Polynomgleichungen
0=xn+an−1⋅xn−1+…+a2⋅x2+a1⋅x1+a0 0 = x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots{}+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x^1+a_0
mit den Lösungen x1…xnx_1\dots x_n verallgemeinern. Das Niederschreiben der einzelnen Terme ist mit wachsendem nn jedoch etwas unübersichtlich. Relativ einfach sind die Formeln für a0a_0 und an−1a_{n-1}:
a0=(−1)n∏k=1nxka_0= (\me)^n\prod\limits_{k=1}^n x_k,
an−1=−∑k=1nxka_{n-1}=-\sum\limits_{k=1}^n x_k

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Algebra