Quadratische Gleichungen

Die allgemeine quadratische Gleichung hat die Form \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\). Ihre Lösungsmenge kann als Menge der Nullstellen der quadratischen Funktion \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) aufgefasst werden.
Wir können \(\displaystyle a\neq 0\) annehmen und die Gleichung äquivalent in \(\displaystyle x^2+\dfrac b a \, x+\dfrac c a=0\) umformen. Man setzt \(\displaystyle p=\dfrac b a\) und \(\displaystyle q=\dfrac c a\) und erhält die Normalform der quadratischen Gleichung:
\(\displaystyle x^2+px+q=0\)
Die Lösungsformel für diese Gleichung ist:
 
 

Formel 5513D (Lösungsformel der quadratischen Gleichung)

\(\displaystyle x_{1,2}=-\dfrac p 2 \pm \sqrt{\dfrac {p^2} 4 - q}\)
Die Lösungsmenge wird durch den Wert der Diskriminante \(\displaystyle D=\dfrac {p^2} 4 - q\) bestimmt. Ist \(\displaystyle D=0\), gibt es eine reelle Doppellösung. Wenn \(\displaystyle D>0\) gibt es zwei reelle Lösungen. Für \(\displaystyle D<0\) existieren keine reellen Lösungen sondern zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Herleitung

Um die angegebene Lösungsformel herzuleiten, benutzen wir die Variablensubstitution \(\displaystyle x=x'-\dfrac p 2\). Dann ergibt sich
(1)
\(\displaystyle {\braceNT{x'-\dfrac p 2}}^2+p\braceNT{x'-\dfrac p 2}+q=0\),
was zu
(2)
\(\displaystyle x'^2-px'+\dfrac {p^2} 4 +px'-\dfrac {p^2} 2 +q =0\)
umgeformt werden kann und schließlich ergibt sich
(3)
\(\displaystyle x'^2= \dfrac {p^2} 4 -q\),
womit sich nach der Rücksubstitution die Lösungsformel ergibt. \(\displaystyle \qed\)
Wenn \(\displaystyle x_1\) und \(\displaystyle x_2\) die Lösungen der quadratischen Gleichungen sind, dann folgt aus dem Vietaschen Wurzelsatz:
\(\displaystyle x_1+x_2=-p\)
\(\displaystyle x_1x_2=q\)

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе