Quadratische Gleichungen

Die allgemeine quadratische Gleichung hat die Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Ihre Lösungsmenge kann als Menge der Nullstellen der quadratischen Funktion y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c aufgefasst werden.
Wir können a≠0a\neq 0 annehmen und die Gleichung äquivalent in x2+ba x+ca=0x^2+\dfrac b a \, x+\dfrac c a=0 umformen. Man setzt p=bap=\dfrac b a und q=caq=\dfrac c a und erhält die Normalform der quadratischen Gleichung:
x2+px+q=0x^2+px+q=0
Die Lösungsformel für diese Gleichung ist:

Formel 5513D (Lösungsformel der quadratischen Gleichung)

x1,2=−p2±p24−qx_{1,2}=-\dfrac p 2 \pm \sqrt{\dfrac {p^2} 4 - q}
Die Lösungsmenge wird durch den Wert der Diskriminante D=p24−qD=\dfrac {p^2} 4 - q bestimmt. Ist D=0D=0, gibt es eine reelle Doppellösung. Wenn D>0D>0 gibt es zwei reelle Lösungen. Für D<0D<0 existieren keine reellen Lösungen sondern zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Herleitung

Um die angegebene Lösungsformel herzuleiten, benutzen wir die Variablensubstitution x=x′−p2x=x'-\dfrac p 2. Dann ergibt sich
(x′−p2)2+p(x′−p2)+q=0{\braceNT{x'-\dfrac p 2}}^2+p\braceNT{x'-\dfrac p 2}+q=0,(1)
was zu
x′2−px′+p24+px′−p22+q=0x'^2-px'+\dfrac {p^2} 4 +px'-\dfrac {p^2} 2 +q =0(2)
umgeformt werden kann und schließlich ergibt sich
x′2=p24−qx'^2= \dfrac {p^2} 4 -q,(3)
womit sich nach der Rücksubstitution die Lösungsformel ergibt. □\qed
Wenn x1x_1 und x2x_2 die Lösungen der quadratischen Gleichungen sind, dann folgt aus dem Vietaschen Wurzelsatz:
x1+x2=−px_1+x_2=-p
x1x2=qx_1x_2=q
 
 

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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