Der goldene Schnitt

Siehe auch: Video zum goldenen Schnitt.

Der goldene Schnitt bezeichnet das Teilungsverhältnis einer Strecke, bei dem sich die kleinere Teilstrecke zur größeren Teilstrecke genauso verhalten soll, wie die größere zur Gesamtstrecke.

Nehmen wir für die kürzeste Strecke die Länge 1 an, können wir die Verhältnisgleichung

aufstellen, welche auf die quadratische Gleichung $x^2=x+1$; in Normalform: $x^2-x-1=0$ führt.

Unter Benutzung von Formel 5513D erhalten wir die Lösungen

Da wir nach einem Verhältnis gesucht haben, kommt nur die positive Lösung in Frage. Die Zahl des goldenen Schnittes $g$ ist also:

$g=\dfrac {1+ \sqrt{5}} 2$ ist irrational.

Sei $g=\dfrac p q$ rational, wobei der Bruch $\dfrac p q$ gekürzt ist, $p,q\in \N$ also teilerfremd sind.

Dann gilt $\left(\dfrac p q\right)^2-\dfrac p q-1=0$ $\implies p^2-pq-q^2=0$ $\implies p\cdot(p-q)=q^2$ $\implies p|q$ $\implies p=1$ (da $p$ und $q$ teilerfremd).

Analog ergibt sich aus $p^2=q(p+q)$, dass $q=1$. Da $1$ keine Lösung für den goldenen Schnitt ist, erhält man einen Widerspruch, womit $g$ irrational ist. $\qed$

Die alten Griechen mit ihrer Vorstellung, dass sich die Ordnung des Universum in rationalen Verhältnissen widerspiegelt, waren ziemlich schockiert, dass gerade der goldene Schnitt als Inbegriff eines harmonischen Zahlenverhältnisses irrational ist.