Der goldene Schnitt

Siehe auch: Video zum goldenen Schnitt.
Der goldene Schnitt bezeichnet das Teilungsverhältnis einer Strecke, bei dem sich die kleinere Teilstrecke zur größeren Teilstrecke genauso verhalten soll, wie die größere zur Gesamtstrecke.
GlSchnitt.png
Nehmen wir für die kürzeste Strecke die Länge 1 an, können wir die Verhältnisgleichung
x1=x+1x\dfrac x 1 = \dfrac{x+1} x,
aufstellen, welche auf die quadratische Gleichung x2=x+1x^2=x+1; in Normalform: x2x1=0x^2-x-1=0 führt.
Unter Benutzung von Formel 5513D erhalten wir die Lösungen
x1,2=1±52x_{1,2}=\dfrac {1\pm \sqrt{5}} 2.
Da wir nach einem Verhältnis gesucht haben, kommt nur die positive Lösung in Frage. Die Zahl des goldenen Schnittes gg ist also:
g=1+521,62g=\dfrac {1+ \sqrt{5}} 2\approx 1,62
 
 

Satz 16I1 (Irrationalität des goldenen Schnitts)

g=1+52g=\dfrac {1+ \sqrt{5}} 2 ist irrational.

Beweis

Sei g=pqg=\dfrac p q rational, wobei der Bruch pq\dfrac p q gekürzt ist, p,qNp,q\in \N also teilerfremd sind.
Dann gilt (pq)2pq1=0\left(\dfrac p q\right)^2-\dfrac p q-1=0     p2pqq2=0\implies p^2-pq-q^2=0     p(pq)=q2\implies p\cdot(p-q)=q^2     pq\implies p|q     p=1\implies p=1 (da pp und qq teilerfremd).
Analog ergibt sich aus p2=q(p+q)p^2=q(p+q), dass q=1q=1. Da 11 keine Lösung für den goldenen Schnitt ist, erhält man einen Widerspruch, womit gg irrational ist. \qed

Die alten Griechen mit ihrer Vorstellung, dass sich die Ordnung des Universum in rationalen Verhältnissen widerspiegelt, waren ziemlich schockiert, dass gerade der goldene Schnitt als Inbegriff eines harmonischen Zahlenverhältnisses irrational ist.

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе