Kubische Gleichung

Die allgemeine Gleichung dritten Grades
\(\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0\)
mit reellen Zahlen \(\displaystyle a,b,c,d\) und \(\displaystyle a\ne0\) kann durch Division mit \(\displaystyle a\) und Substitution mit \(\displaystyle y=x+\dfrac b{3a}\) in die Form
\(\displaystyle y^3+py+q=0\)
gebracht werden, wobei
\(\displaystyle p=\dfrac {3ac-b^2}{3a^2}\)
und
\(\displaystyle q=\dfrac {2b^3}{27a^3} - \dfrac {bc}{3a^2} + \dfrac {d}{a}\)
gilt.
Es sei \(\displaystyle D=4p^3+27q^2\) die Diskriminante der linken Seite.
KubDiskr.png
Das Lösungsverhalten hängt nun entscheidend vom Vorzeichen der Diskriminante ab:
  • \(\displaystyle D>0\): Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe Lösungen.
  • \(\displaystyle D=0\): Es gibt entweder eine doppelte reelle Lösung und eine einfache reelle Lösung oder eine dreifache reelle Lösung.
  • \(\displaystyle D<0\): Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen.
 
 

\(\displaystyle D\) > 0

Es gibt genau eine reelle Lösung, die durch
\(\displaystyle y_1=\sqrtN{3}{-\dfrac q2+\sqrt{\braceNT{\dfrac q2}^2+\braceNT{\dfrac p3}^3}}+\sqrtN{3}{-\dfrac q2-\sqrt{\braceNT{\dfrac q2}^2+\braceNT{\dfrac p3}^3}}\)
gegeben ist. (Ist dabei eine dritte Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, so ist die negative und nicht eine der beiden echt komplexen Wurzeln zu wählen, d.h. \(\displaystyle \sqrtN{3}{-x}=-\sqrtN{3}{x}\).)
Die anderen beiden, echt komplexen Lösungen sind im Fall \(\displaystyle q\ne0\) die Lösungen der quadratischen Gleichung
\(\displaystyle y^2+y_1y-\dfrac q{y_1}=0;\)
im Spezialfall \(\displaystyle q=0\) sind die anderen beiden Lösungen
\(\displaystyle y_{2/3}=\pm\mathrm i\sqrt p\, \)
Alternativ kann man die komplexen Lösungen auch direkt angeben: Es sei
\(\displaystyle \omega=\dfrac{-1+\mathrm i\sqrt3}2\)
eine dritte Einheitswurzel. Dann sind die Lösungen:
\(\displaystyle y_2=\omega\sqrtN{3}{-\dfrac q2+\sqrt{\braceNT{\dfrac q2}^2+\braceNT{\dfrac p3}^3}}+\bar\omega\sqrtN{3}{-\dfrac q2-\sqrt{\braceNT{\dfrac q2}^2+\braceNT{\dfrac p3}^3}}\)
\(\displaystyle y_3=\bar\omega\sqrtN{3}{-\dfrac q2+\sqrt{\braceNT{\dfrac q2}^2+\braceNT{\dfrac p3}^3}}+\omega\sqrtN{3}{-\dfrac q2-\sqrt{\braceNT{\dfrac q2}^2+\braceNT{\dfrac p3}^3}}\)

\(\displaystyle D\) = 0

In diesem Fall gibt es eine doppelte reelle Lösung
\(\displaystyle y_{1/2}=-\dfrac{3q}{2p}=\sqrtN{3}{\dfrac q2}\)
und eine einfache Lösung
\(\displaystyle y_3=\dfrac{3q}p=\sqrtN{3}{-4q}\, \)
Ist \(\displaystyle p=q=0\), so ist \(\displaystyle y=0\) die einzige (dreifache) Lösung.

\(\displaystyle D\) < 0 (casus irreducibilis)

Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen, bei ihrer Bestimmung mit der obigen Formel müssen jedoch dritten Wurzeln aus echt komplexen Zahlen berechnet werden. Deshalb wird dieser Fall casus irreducibilis genannt.
Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Wurzeln jedoch berechnet werden:
\(\displaystyle y_1 = 2\, \sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cdot \cos\braceNT{\dfrac{1}{3}\arccos\braceNT{\dfrac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\dfrac{27}{p^3}}}}\)
\(\displaystyle y_2 = -2\, \sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cdot \cos\braceNT{\dfrac{1}{3}\arccos\braceNT{\dfrac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\dfrac{27}{p^3}}} + \dfrac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle y_3 = -2\, \sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cdot \cos\braceNT{\dfrac{1}{3}\arccos\braceNT{\dfrac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\dfrac{27}{p^3}}} - \dfrac{\pi}{3}}\)

Cardanische Formeln

Die obigen Formeln tragen den Namen Cardanischen Formeln. Sie wurden, zusammen mit Lösungsformeln für biquadratische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades), erstmals 1545 von dem Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. Entdeckt wurde die Lösungsformel für kubische Gleichungen von Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro.
Die Cardanischen Formeln waren eine wichtige Motivation für die Einführung der komplexen Zahlen, da man im Fall des casus irreducibilis durch das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu reellen Lösungen gelangen kann.
Die Cardanischen Formeln besitzen bei der numerischen Lösung von Gleichungen heute keine praktische Bedeutung mehr. Der Nachweis, dass es keine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften und höhreren Grades geben kann, hat allerdings die Entwicklung der Algebra entscheidend befruchtet (siehe Galoistheorie).

Komplexe Koeffizienten

Das Vorgehen ist für komplexe Koeffizienten weitgehend analog, es gibt aber nur zwei Fälle:
  • \(\displaystyle D\ne0\): Die oben für den Fall \(\displaystyle D>0\) angegebenen Formeln gelten analog; die beiden dritten Wurzeln sind dabei so zu wählen, dass ihr Produkt \(\displaystyle -p/3\) ergibt.
  • \(\displaystyle D=0\): Die oben für den Fall \(\displaystyle D=0\) angegebenen Formeln gelten unverändert.

Literatur

  • Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Wiesbaden 2004, ISBN 3528131926
  • Heinrich Dörrie: Kubische und biquadratische Gleichungen, München 1948
  • Ludwig Matthiessen: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, Leipzig 1896

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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