Quadratwurzeln

Quadratwurzeln sind ein Spezialfall der allgemeinen Wurzeln für den Exponenten 22. Die Quadratwurzel einer Zahl xx ist also genau diejenige Zahl ww für die w2=w⋅w=xw^2=w\cdot w=x gilt.
Zur Behandlung der Quadratwurzel als Funktion, siehe: Wurzelfunktion.

Symbolik

w=x2w=\sqrtN{2} x oder einfach w=xw=\sqrt{x}.
Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind, ist auch x12x^\frac {1}{2} möglich.

Berechnung

Beispiele

Für die Quadratzahlen natürlicher Zahlen ergeben sich die Wurzeln einfach:
1=1\sqrt 1=1, wegen 12=11^2=1,
4=2\sqrt 4=2, wegen 22=42^2=4,
9=3\sqrt 9=3, wegen 32=93^2=9,
16=4\sqrt {16}=4, wegen 42=164^2=16.
Da die Quadratzahlen eindeutig sind, ergibt sich auch sofort, dass nicht für alle natürlichen Zahlen ihre Wurzeln wieder natürliche Zahlen sind, sondern eben nur für die Quadratzahlen. Genau wie z.B. die Division ist das Wurzelziehen im Bereich der natürlichen Zahlen nicht abgeschlossen, im Gegensatz zur Addition.
Man kann sogar zeigen, dass auch Brüche (rationale Zahlen) nicht reichen, um die Quadratwurzeln aller natürlichen Zahlen zu bestimmen, sondern die Wurzeln von Primzahlen z.B. immer irrational sind (Beispiel 5225H).

Probleme mit der Eindeutigkeit

Betrachten wir nun nicht mehr die natürlichen Zahlen, sondern die ganzen Zahlen, so ist unmittelbar klar, dass alle negativen Zahlen keine Wurzeln besitzen können, da Quadrate von Zahlen ganz allgemein immer positiv sind. Wir bekommen jedoch ein anderes Probleme, denn wegen (−2)⋅(−2)=4(-2)\cdot (-2)=4 ist nach obiger Definition 4=−2\sqrt 4=-2 genauso richtig, wie 4=2\sqrt 4=2.
Um diesen Problemen aus dem Weg zu gehen, beschränkt man entweder den Definitionsbereich auf die positiven Zahlen, oder definiert die Quadratwurzel einer Zahl xx als diejenige positive Zahl ww, für die w2=xw^2=x gilt. Beide Varianten garantieren die Eindeutigkeit der Quadratwurzel.

Rechnerische Bestimmung von Quadratwurzeln

Konkret werden Wurzeln allgemeiner reeller Zahlen meist durch Iterationsverfahren bestimmt.

Bisektionsverfahren

Das Bisektionsverfahren ist einfaches auf Intervallschachtelung basierendes Iterationsverfahren, das jedoch schlecht konvergiert (siehe Beispiel 164X).

Heron-Verfahren

Beim Heron-Verfahren handelt es sich um einen Spezialfall des Newtonverfahrens. a\sqrt a wird dabei als Nullstelle der Funktion f(x)=x2−af(x)=x^2-a gefunden.

Taylorreihen-Entwicklung

Die Taylorreihen-Entwicklung von x\sqrt{x} mit Entwicklungspunkt 11 ergibt sich als:
x+1=1+∑n=1∞(−1)n+1(2n−2)!n!(n−1)!22n−1xn\sqrt{x+1}=1 + \sum\limits_{n=1}^\infty { \dfrac{(-1)^{n+1} (2n-2)!}{ n! (n-1)! 2^{2n-1} }}x^n
=1+12x−18x2+116x3−5128x4±… = 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{16} x^3 - \dfrac{5}{128} x^4 \pm \dots
Diese Reihe konvergiert für ∣x∣<1|x| < 1.
 
 

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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