Quadratwurzeln

Quadratwurzeln sind ein Spezialfall der allgemeinen Wurzeln für den Exponenten \(\displaystyle 2\).Die Quadratwurzel einer Zahl \(\displaystyle x\) ist also genau diejenige Zahl \(\displaystyle w\) für die \(\displaystyle w^2=w\cdot w=x\) gilt.
Zur Behandlung der Quadratwurzel als Funktion, siehe: Wurzelfunktion.

Symbolik

\(\displaystyle w=\sqrtN{2} x\) oder einfach \(\displaystyle w=\sqrt{x}\).
Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind, ist auch \(\displaystyle x^\dfrac {1}{2}\) möglich.
 
 

Berechnung

Beispiele

Für die Quadratzahlen natürlicher Zahlen ergeben sich die Wurzeln einfach:
\(\displaystyle \sqrt 1=1\), wegen \(\displaystyle 1^2=1\),
\(\displaystyle \sqrt 4=2\), wegen \(\displaystyle 2^2=4\),
\(\displaystyle \sqrt 9=3\), wegen \(\displaystyle 3^2=9\),
\(\displaystyle \sqrt {16}=4\), wegen \(\displaystyle 4^2=16\).
Da die Quadratzahlen eindeutig sind, ergibt sich auch sofort, dass nicht für alle natürlichen Zahlen ihre Wurzeln wieder natürliche Zahlen sind, sondern eben nur für die Quadratzahlen. Genau wie z.B. die Division ist das Wurzelziehen im Bereich der natürlichen Zahlen nicht abgeschlossen, im Gegensatz zur Addition.
Man kann sogar zeigen, dass auch Brüche (rationale Zahlen) nicht reichen, um die Quadratwurzeln aller natürlichen Zahlen zu bestimmen, sondern die Wurzeln von Primzahlen z.B. immer irrational sind (Beispiel 5225H).

Probleme mit der Eindeutigkeit

Betrachten wir nun nicht mehr die natürlichen Zahlen, sondern die ganzen Zahlen, so ist unmittelbar klar, dass alle negativen Zahlen keine Wurzeln besitzen können, da Quadrate von Zahlen ganz allgemein immer positiv sind. Wir bekommen jedoch ein anderes Probleme, denn wegen \(\displaystyle (-2)\cdot (-2)=4\) ist nach obiger Definition \(\displaystyle \sqrt 4=-2\) genauso richtig, wie \(\displaystyle \sqrt 4=2\).
Um diesen Problemen aus dem Weg zu gehen, beschränkt man entweder den Definitionsbereich auf die positiven Zahlen, oder definiert die Quadratwurzel einer Zahl \(\displaystyle x\) als diejenige positive Zahl \(\displaystyle w\), für die \(\displaystyle w^2=x\) gilt. Beide Varianten garantieren die Eindeutigkeit der Quadratwurzel.

Rechnerische Bestimmung von Quadratwurzeln

Konkret werden Wurzeln allgemeiner reeller Zahlen meist durch Iterationsverfahren bestimmt.

Bisektionsverfahren

Das Bisektionsverfahren ist einfaches auf Intervallschachtelung basierendes Iterationsverfahren, das jedoch schlecht konvergiert (siehe Beispiel 164X).

Heron-Verfahren

Beim Heron-Verfahren handelt es sich um einen Spezialfall des Newtonverfahrens. \(\displaystyle \sqrt a\) wird dabei als Nullstelle der Funktion \(\displaystyle f(x)=x^2-a\) gefunden.

Taylorreihen-Entwicklung

Die Taylorreihen-Entwicklung von \(\displaystyle \sqrt{x}\) mit Entwicklungspunkt \(\displaystyle 1\) ergibt sich als:
\(\displaystyle \sqrt{x+1}=1 + \sum\limits_{n=1}^\infty { \dfrac{(-1)^{n+1} (2n-2)!}{ n! (n-1)! 2^{2n-1} }}x^n\)
\(\displaystyle = 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{16} x^3 - \dfrac{5}{128} x^4 \pm \dots\)
Diese Reihe konvergiert für \(\displaystyle |x| < 1\).

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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