Offene und abgeschlossene Mengen im $\Rn$

Sei $M\subseteq \Rn$ eine Punktmenge. Wir bezeichnen dann mit $M'$ die Menge aller Häufungspunkte von $M$. Die abgeschlossene Hülle $\overline M:=M\cup M'$ ist die Vereinigung von $M$ mit seinen Häufungspunkten.

$M\subseteq \Rn$ heißt abgeschlossen, wenn $M$ alle seine Häufungspunkte enthält, also $M'\subseteq M$ ist.

Ein Punkt $x\in M$ einer Punktmenge $M\subseteq \Rn$ heißt innerer Punkt, wenn es eine $\epsilon$-Umgebung um diesen gibt, die ganz in $M$ liegt ($U_\epsilon(x) \subseteq M$).

Eine Punktmenge $M\subseteq \Rn$ heißt offen, wenn jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist.

Ein Punkt $x$ heißt äußerer Punkt einer Punktmenge $M\subseteq \Rn$, wenn $x$ ein innerer Punkt des Komplements $\Rn\setminus M$ ist.

Ein Punkt $x$ heißt Randpunkt von $M\subseteq \Rn$, wenn jede Umgebung um $x$ Punkte aus $M$ und aus $\Rn\setminus M$ enthält. Die Menge aller Randpunkte heißt Rand von $M$ und wird mit $\partial M$ bezeichnet.

Die Zusammenhänge zwischen den Typen von Mengen werden bei den metrischen Räumen genauer behandelt. Alle dort angeführten Ergebnisse gelten auch im $\Rn$. Man betrachte vor allem Satz 5910A, Satz 5226A, Satz 5226B und Satz 5226C. Die dort geführten Beweise lassen sich unter Benutzung der euklidischen Metrik übertragen.

Die offene Kreisscheibe

aus Beispiel 165J ist eine offene Menge.

Die abgeschlossene Kreisscheibe

ist eine abgeschlossene Menge. Die abgeschlossene Hülle von $K_o$ ist genau $K_a$, also $K_a=\overline {K_o}$.

Der Kreisring

ist ebenfalls abgeschlossen. Er enthält alle Randpunkte von $K_o$, also $K_r=\partial K_o$.

Jede endliche Menge ist abgeschlossen.

Alle $\epsilon$-Umgebungen sind offen.