Häufungspunkte in metrischen Räumen

Sei MM ein metrischer Raum und A⊆MA\subseteq M eine Teilmenge davon.
Ein Punkt x∈Mx\in M heißt Berührungspunkt von AA, wenn jede Umgebung um xx wenigstens einen Punkt a∈Aa\in A enthält.
Ein Punkt x∈Mx\in M heißt Häufungspunkt von AA, wenn jede Umgebung um xx wenigstens einen von xx verschiedenen Punkt a∈Aa\in A enthält. Die Menge der Häufungspunkte von AA wird mit A′A' bezeichnet.
Ein Häufungspunkt der Menge AA muss nicht unbedingt zur Menge gehören. Ein Punkt von AA, der kein Häufungspunkt ist, heißt isolierter Punkt. Ein isolierter Punkt ist also Element der Menge A∖A′A\setminus A'.

Perfekte Mengen

Eine Teilmenge AA eines metrischen Raums heißt perfekt, wenn sie abgeschlossen ist und jeder ihrer Punkte Häufungspunkt, also A=A′A=A' gilt.

Satz 5226B

Für jede Teilmenge A⊆MA\subseteq M gilt:
  1. ∂A⊆A′\partial A\subseteq A'
  2. Die Menge AA ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält, also A′⊆AA'\subseteq A gilt.
  3. A∪A′=A∪∂A=A°∪∂AA\cup A'= A\cup \partial A=A°\cup \partial A ist abgeschlossen
  4. A∪∂A=A°∪∂A=A‾A\cup \partial A=A°\cup \partial A=\overline A ist abgeschlossen todo!

Beweis

(ii) ∂A⊆A′\partial A\subseteq A' kann direkt aus der Definition der Rand- und Häufungspunkte abgelesen werden.
(iii) "⇒\Rightarrow": Sei AA abgeschlossen und x∈A′x\in A'. Dann gilt für jede Umgebung U(x)U(x):
U(x)∩A≠∅U(x)\cap A \neq \emptyset. (1)
Wir nehmen an, dass x∉Ax\notin A, also x∈M∖Ax\in M\setminus A. M∖AM\setminus A ist nach Voraussetzung offen, daher existiert eine ϵ\epsilon-Umgebung mit Uϵ(x)⊆M∖AU_\epsilon(x)\subseteq M\setminus A, also Uϵ(x)∩A=∅U_\epsilon(x)\cap A=\emptyset, im Widerspruch zu (1). Also gilt x∈Ax\in A und daher A′⊆AA'\subseteq A.
"⇐\Leftarrow": AA enthalte alle seine Häufungspunkte. Dann enthält M∖AM\setminus A keinen Häufungspunkt. Wenn nun x∈M∖Ax\in M\setminus A gilt x∉A′x\notin A' und es muss ein U(x)U(x) existieren mit U(x)∩A=∅U(x)\cap A=\emptyset, also U(x)⊆M∖AU(x)\subseteq M\setminus A Wir finden damit eine ϵ\epsilon-Umgebung um xx, die ganz in M∖AM\setminus A liegt, also ist xx innerer Punkt von M∖AM\setminus A. Damit ist M∖AM\setminus A offen und AA abgeschlossen.
(iv) Aus (ii) folgt dann auch A∪A′⊇A∪∂AA\cup A'\supseteq A\cup \partial A. Die andere Inklusion zeigen wir folgendermaßen: wenn x∈Ax\in A gilt, dann ist auch x∈A∪∂Ax\in A\cup \partial A. Bleibt der Fall x∈A′∖Ax\in A'\setminus A, dann gilt - weil xx Häufungspunkt ist - dass alle Umgebungen U(x)U(x) einen Punkt von AA enthalten. Andererseits ist x∉Ax\notin A, also x∈M∖Ax\in M\setminus A und U(x)U(x) enthält wenigstens einen Punkt von M∖AM\setminus A nämlich xx. Damit gilt x∈∂Ax\in \partial A und somit die andere Inklusion.
Die Identität A∪∂A=A°∪∂AA\cup \partial A=A°\cup \partial A ergibt sich unter Benutzung von (i) und Satz 5226A rein mengenalgebraisch.
Die Abgeschlossenheit von A∪A′A\cup A' folgt aus (iii).

Satz 15W3

Sei A⊂MA\subset M Teilmenge eine metrischen Raums und a∈Ma\in M Häufungspunkt von AA. Dann ist AA unendlich.
Mengen mit Häufungspunkten sind also unendlich.

Beweis

Indirekt: Sei AA endlich mit n∈Nn\in \domN Elementen.
Wir finden mit x1x_1 einen beliebigen Punkt aus der 11-Umgebung um xx, der auch zu AA gehört. Sei nun ϵ2=d(x1,a)2\epsilon_2=\dfrac {d(x_1,a)} 2. Dann gilt: x1∉Uϵ2(a)x_1\notin U_{\epsilon_2}(a). Nach Definition des Häufungspunkts muss es aber ein x2∈Uϵ2(a)∩Ax_2\in U_{\epsilon_2}(a)\cap A geben, wobei natürlich x1≠x2x_1\neq x_2 ist. Wenden wir diese Methode fortwährend an, können wir aber mehr als nn verschiedene Elemente von AA konstruieren, was ein Widerspruch zu Endlichkeit von AA ist. □\qed
 
 

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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