Kompakte Mengen in metrischen Räumen

Unter einer offenen Überdeckung einer Menge AA versteht man eine Familie offener Mengen BiB_i, wobei i∈Ii\in I und II eine beliebige Indexmenge ist, für die gilt:
A⊆⋃i∈IBiA\subseteq \bigcup\limits_{i\in I}B_i.(1)
Eine Teilmenge AA eines metrischen Raums MM heißt kompakt, wenn man aus jeder Überdeckung von AA mit offenen Mengen eine endliche Teilüberdeckung auswählen kann.
Wenn (1) also eine solche Überdeckung ist, finden wir endlich viele Indizes i1i_1, i2i_2, …,in\ldots, i_n, so dass A⊆⋃k=1nBikA\subseteq \bigcup\limits_{k=1}^n{B_i}_k gilt.
Trivialerweise ist jede endliche Teilmenge eines metrischen Raumes kompakt.

Satz 16JY (Kompaktheit und Teilfolgen)

Eine Menge K⊂MK\subset M ist genau dann kompakt, wenn jede Folge aus KK eine konvergente Teilfolge in KK enthält.
∀(xn)⊂K ∃(xnk)⊂(xn):lim⁡nk→∞xnk∈K\forall (x_n) \subset K \, \exists (x_{n_k})\subset (x_n):\lim_{n_k\rightarrow \infty} x_{n_k}\in K
 
 

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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