Satz 5909E

Im $\domRn$ waren die kompakten Mengen genau die beschränkten und abgeschlossenen Mengen (Satz 165L). In metrischen Räumen gilt dies nicht mehr. Allerdings gilt:

Sei $A$ eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raums $M$. Dann ist $A$ beschränkt und abgeschlossen.

Wir zeigen zuerst, dass $A$ beschränkt ist, dazu müssen wir zeigen, dass der Durchmesser von $A$ endlich ist.

Wir definieren für jedes $x\in A$ eine Umgebung $U_x$ als $1$-Umgebung um den Punkt $x$, also:

Wir halten fest: Erstens ist der Durchmesser dieser Umgebungen höchsten $1$:

Zweitens bilden die $U_x$ eine offene Überdeckung von $A$. Wegen der Kompaktheit von $A$ können wir daraus eine endliche Teilüberdeckung auswählen. Es gibt also $x_1,\ldots,x_n$, so dass

Jetzt ergibt sich unter Benutzung von Satz 5909F die folgende Abschätzung:

womit die Beschränktheit von $A$ gezeigt ist.

Zum Beweis, dass $A$ abgeschlossen ist, zeigen wir, dass $M\setminus A$ offen ist.

Sei $y\in M\setminus A$ ein beliebiger Punkt. Wir definieren für jedes $x\in M$: $r_x=\dfrac 1 2 \, d(x,y)$ und die beiden Umgebungen $V_x={U_r}_x(y)$ und $W_x={U_r}_x(x)$. Die $W_x$ bilden ein offenes Überdeckungssystem mit $A\subseteq\bigcup\limits_{x\in A} W_x$ und wegen der Kompaktheit von $A$ können wir hieraus eine endliche viele $x_1,\ldots,x_n$ auswählen, so dass:

Wir definieren jetzt:

Wir setzen $V=U_\epsilon(y)$ und überlegen uns zuerst, dass $V\cap {W_x}_k=\emptyset$ gilt. Andernfalls gäbe es ein $z\in V\cap {W_x}_k$ und es würden folgende Ungleichungen gelten:

$d(y,z)<\epsilon\leq \dfrac 1 2 d(x_k,y)$ und $d(x_k,z)<\dfrac 1 2 d(x_k,y)$. Also gilt: was ein offensichtlicher Widerspruch ist.

Daher gilt auch:

Daher gilt nun: $V\subseteq M\setminus A$ und $y$ ist ein innerer Punkt von $M\setminus A$. Da $y$ beliebig war, besteht $M\setminus A$ nur aus inneren Punkten und ist nach Satz 5226A offen. Also ist $A$ als Komplement abgeschlossen. $\qed$

Wir geben jetzt ein Beispiel für einen metrischen Raum an, in dem die beschränkten und abgeschlossenen Mengen nicht kompakt sind.

Sei $M$ eine beliebige unendliche Menge versehen mit der diskreten Metrik:

$M$ ist beschränkt, da der maximale Abstand zweier Punkte 1 ist.

$M$ ist als Raum auch abgeschlossen (Satz 5910A).

Die $\epsilon$-Umgebungen $U_\epsilon(x)$ mit $\epsilon=\dfrac 1 2$ sind nach Satz 5225J offene Mengen. Sie enthalten nur jeweils einen Punkt, nämlich $x$. Alle zusammen bilden eine offene Überdeckung von $M$.

Weil $M$ unendlich ist, können wir aber hieraus keine endliche Teilüberdeckung auswählen. Also ist $M$ nicht kompakt.