Durchmesser und beschränkte Mengen in metrischen Räumen

Ist (MM,dd) ein metrischer Raum und A⊆MA \subseteq M nicht leer, so heißt
diam⁡A:=sup⁡d(x,y)\diam A := \sup d(x, y) für x,y∈Ax,y \in A
der Durchmesser von AA (∞\infty soll als Wert erlaubt sein). Wir setzen als Konvention diam⁡∅=0\diam \emptyset=0.
Die Menge AA soll beschränkt heißen, wenn diam⁡A<∞\diam A<\infty gilt, der Durchmesser also endlich ist.

Satz 5909F (Eigenschaften des Durchmessers)

Für Teilmengen AA und BB eines metrischen Raum gilt:
  1. A⊆B  ⟹  diam⁡A≤diam⁡BA\subseteq B\implies \diam A\leq \diam B
  2. diam⁡(A∩B)≤min⁡{diam⁡A,diam⁡B}\diam(A\cap B)\leq \min\{ \diam A, \diam B\}
  3. max⁡{diam⁡A,diam⁡B}≤diam⁡(A∪B)≤diam⁡A+diam⁡B\max\{ \diam A, \diam B\}\leq \diam(A\cup B)\leq \diam A+ \diam B

Bemerkung

In der Sprache der beschränkten Mengen sagt der Satz aus, dass jeder Teilmenge einer beschränkten Menge beschränkt ist, und dass Durchschnitt und Vereinigung beschränkter Mengen beschränkt sind.

Satz 5608J (Durchschnittssatz)

Ist (An)(A_n) mit n∈Nn\in \dom N eine Folge von nichtleeren abgeschlossenen Teilmengen eines vollständigen metrischen Raums (MM,dd) und es gelte
An+1⊆AnA_{n+1}\subseteq A_n und lim⁡diam⁡An=0\lim \diam A_n = 0,
so enthält ⋂n∈NAn\bigcap\limits_{n\in\domN} A_n genau ein Element.

Beweis

Wir definieren eine Zahlenfolge (an)(a_n) dadurch, dass wir aus jeder Menge AnA_n ein Element auswählen, also an∈Ana_n\in A_n. Nun zeigen wir, dass diese Folge eine Cauchyfolge ist. Wenn ϵ>0\epsilon>0 beliebig vorgegeben ist, dann gibt es wegen lim⁡diam⁡An=0\lim \diam A_n = 0 ein n0n_0 mit diam⁡An<ϵ\diam A_n<\epsilon für alle n≥n0n\geq n_0. Für beliebige n≥m≥n0n\geq m\geq n_0 gilt dann an∈An⊂Ama_n\in A_n\subset A_m und am∈Ama_m\in A_m. Wir erhalten dann d(am,an)≤diam⁡Am<ϵd(a_m,a_n)\leq\diam A_m<\epsilon, womit gezeigt wäre, dass (an)(a_n) eine Cauchyfolge ist.
Da (MM,dd) vollständig ist, konvergiert (an)(a_n) gegen ein a∈Ma\in M. Für ein beliebiges aber festes n1n_1 gilt: an∈An1a_n\in A_{n_1} für n>n1n>n_1 und weil An1A_{n_1} abgeschlossen ist, gilt nach Folgerung 5608H dann a∈An1a\in A_{n_1}, womit auch a∈⋂n∈NAna\in \bigcap\limits_{n\in\dom N} A_n gilt.
Sei jetzt b≠ab\neq a ebenfalls im Durchschnitt enthalten. Dann wäre für ein beliebiges nn aber diam⁡An≥d(a,b)>0\diam A_n\geq d(a,b)>0 im Widerspruch zu lim⁡diam⁡An=0\lim \diam A_n = 0. □\qed
 
 

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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Folgen und Konvergenz