Abgeschlossene Mengen in metrischen Räumen

Die Definition der abgeschlossenen Mengen wird auf die Definition offener Mengen zurückgeführt.
Eine Teilmenge A⊆MA\subseteq M eines metrischen Raums heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement M∖A=AcM\setminus A=A^c offen ist.
Abgeschlossen und offen sind damit zueinander duale Begriffe. Man kann den einen durch den anderen ersetzen indem man zum Komplement übergeht.

Satz 5910A (Eigenschaften abgeschlossener Mengen)

  1. Die leere Menge ∅\emptyset und MM selbst sind abgeschlossen.
  2. Wenn II eine beliebige Indexmenge ist und für i∈Ii\in I die Ai⊆MA_i\subseteq M alle abgeschlossen sind, dann ist auch der Durchschnitt ⋂i∈IAi\bigcap\limits_{i\in I} A_i abgeschlossen.
  3. Wenn A,B⊂MA,B\subset M abgeschlossen sind dann ist auch die Vereinigung A∪BA\cup B abgeschlossen. Also ist auch die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen.
  4. Jede endliche Menge ist abgeschlossen.

Beweis

Den Beweis von (i)-(iii) führt man, indem man zum Komplement übergeht und auf die entsprechenden Aussagen für offene Mengen (Satz 5225J) zurückgreift. (i) da ∅c=M\OO^c=M bzw. Mc=∅M^c=\OO offen. (ii) AiA_i abgeschlossen   ⟹  Aic\implies A_i^c offen   ⟹   ⋃Aic=(⋂Ai)c\implies \, \bigcup\limits A_i^c=\left(\bigcap\limits A_i\right)^c offen   ⟹   ⋂Ai\implies \, \bigcap\limits A_i abgeschlossen. (iii) A,BA,B abgeschlossen   ⟹  Ac,Bc\implies A^c,B^c offen   ⟹  Ac∩Bc=(A∪B)c\implies A^c\cap B^c=(A\cup B)^c offen   ⟹  A∪B\implies A\cup B abgeschlossen.
(iv) Wir brauchen hier nur zu zeigen, dass die einpunktigen Mengen abgeschlossen sind, nach (iii) sind dann auch die endlichen Mengen abgeschlossen.
Sei x∈Mx\in M ein beliebiger Punkt des Raums. Wir zeigen, dass M∖{x}M\setminus \{x\} offen ist. Wenn y∈M∖{x}y\in M\setminus \{x\}, wählen wir z.B. ϵ=d(x,y)2\epsilon =\dfrac {d(x,y)} 2 und xx liegt nicht in der ϵ\epsilon-Umgebung von yy. Es gilt dann Uϵ(y)⊆M∖{x}U_\epsilon(y)\subseteq M\setminus \{x\}. Da yy beliebig gewählt war, ergibt sich die Behauptung. □\qed

Satz 16PN

In einem metrischen Raum MM sei AA eine abgeschlossene Menge und OO eine offene Menge, dann gilt:
  1. A∖OA\setminus O ist abgeschlossen
  2. O∖AO\setminus A ist offen

Beweis

Nach Satz 5910C gilt folgende mengenalgebraische Identität:
M∖(A∖O)=(M∖A)∪(M∩O)M\setminus (A\setminus O)=(M\setminus A) \cup (M\cap O). Die rechte Seite ist als Vereinigung offener Mengen offen, also auch die linke Seite. (ii) zeigt man analog. □\qed
 
 

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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