Dichte und nirgends dichte Mengen

Eine Teilmenge AA eines metrischen Raum MM heißt dicht in MM, wenn ihre abgeschlossene Hülle mit MM zusammenfällt, also A‾=M\overline A=M
AA heißt nirgends dicht, wenn ihre abgeschlossene Hülle keine inneren Punkte enthält, also (A‾)°=∅(\overline A)°=\emptyset. Teilmengen nirgends dichter Mengen sind immer selbst nirgends dicht.

Beispiele

Die rationalen Zahlen Q\domQ liegen dicht in den reellen Zahlen R\R.
Die Kreislinie S={(x,y)∈R2 ∣ x2+y2=1}S=\{(x,y)\in\R^2\, |\, x^2+y^2=1\} ist nirgends dicht. Sie ist abgeschlossen (sogar perfekt) und enthält keine inneren Punkte.
Suchen wir eine nirgends dichte perfekte Menge ohne innere Punkte, die Teilmenge der reellen Zahlen ist, so kommt dafür das Cantorsche Diskontinuum in Frage.

Satz 1664

  1. Sei AA ist genau dann nirgends dicht, wenn (Ac)°=(A‾)c(A^c)°=({\overline A})^c dicht ist
  2. Jede abgeschlossene Menge AA, die zugleich nirgends dicht ist, besteht nur aus Randpunkten.

Beweis

(i) Es ist (A‾)°=∅(\overline A)°=\emptyset   ⟺   M=((A‾)°)c\iff \, M= ((\overline A)°)^c =(A‾)c‾\nohtml =\overline {(\overline A)^c} =(Ac)°‾=\nohtml\overline {(A^c)°} (benutzt wurde Satz 16RI).
(ii) AA ist abgeschlossen, also A=A‾A=\overline{A} und nirgends dicht, also (A‾)°=∅(\overline A)°=\emptyset. damit ist A°=∅A°=\emptyset. Nun ist A=A°∪∂A=∂AA=A°\cup\partial A=\partial A. □\qed.
 
 

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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