Offene Mengen in metrischen Räumen

AMA\subseteq M heißt offen genau dann, wenn sie nur innere Punkte enthält, also AA°A\subseteq A° (A=A°A=A° wegen Satz 5226A) gilt.

Beispiel

In R\domR sind die offenen Intervalle ]a,b[]a,b[ offene Mengen.

Satz 5225J (Eigenschaften offener Mengen)

  1. Die leere Menge \emptyset und MM sind offen.
  2. Wenn II eine beliebige Indexmenge ist und für iIi\in I die AiMA_i\subseteq M sämtlich offen sind, dann ist auch die Vereinigung iIAi\bigcup\limits_{i\in I} A_i offen.
  3. Wenn A,BMA,B\subset M offen sind, dann ist auch der Durchschnitt ABA\cap B offen. Also ist auch der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen offen.
  4. AA ist genau dann offen, wenn für jeden Punkt xAx\in A eine Umgebung U(x)U(x) existiert, sodass U(x)AU(x)\subseteq A, sie also für jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist.
  5. Alle ϵ\epsilon-Umgebungen sind offen.
 
 

Beweis

(i) folgt aus Satz 5226A iv.
(ii) iIAiiIAi°\bigcup\limits_{i\in I} A_i \subseteq \bigcup\limits_{i\in I} A_i°, da alle AiA_i offen und AiAi°A_i\subseteq A_i°     iIAi(iIAi)°\implies \bigcup\limits_{i\in I} A_i \subseteq \left(\bigcup\limits_{i\in I} A_i\right)° (Satz 16RD)
(iii) erschließt man analog zu (ii) mit Satz 16RD iii.
(iv) trivial, denn offene Mengen sind genau als die Mengen, die alle ihre inneren Punkte enthalten charakterisiert.
(v) wegen (iii) und Bemerkung 16RE. \qed

Man mag sich wundern, dass man beliebig viele offene Mengen vereinigen kann und wieder eine offene Menge erhält, aber man sich beim Durchschnitt auf endlich viele beschränken muss.
Was passieren kann, wenn man unendlich viele offene Mengen schneidet, zeigt folgendes Beispiel.
Gegeben seien offene Intervalle der Form In=]1n,1n[I_n=]-\dfrac 1 n, \dfrac 1 n[. Für alle diese Intervalle gilt: 0In0\in I_n; für jede andere Zahl aa können wir wenigstens ein nn finden mit aIna\notin I_n. Daher ist:
I=i=1In={0}I=\bigcap\limits_{i=1}^\infty I_n=\{0\}.
II ist nicht offen (denn jede ϵ\epsilon-Umgebung um 00 ist unendlich); jedoch als endliche Menge nach Satz 5910A abgeschlossen.

Satz 16RF (Offene Mengen und offener Kern)

Der offene Kern A° ist offen, er ist als Vereinigung aller offenen Teilmengen von AA die größte offene Teilmenge von AA.

Beweis

A°°=A°A°°=A° (Satz 5226A) daher ist A° offen. Damit gehört A° zur Vereinigung aller offenen Teilmengen, also müssen wir nur noch zeigen, dass A° diese Vereinigung enthält. Sei OAO\subseteq A offen. Nach Satz 5225J iv ist OO für jeden ihrer Punkte Umgebung, und ebenso ist AA für jeden Punkt aus OO Umgebung. Nach Satz 5226A v ist dann OA°O\subseteq A° Da dies für jede offene Menge OAO\subseteq A gilt, gilt es auch für deren Vereinigung. \qed

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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