Innere, äußere und Randpunkte

Sei

A

M

. Ein Punkt

x\in M

heißt

innerer Punkt von $A$ , wenn es eine Umgebung $U(x)$ mit $U(x)\subseteq A$ gibt,
äußerer Punkt von $A$ , wenn es eine Umgebung $U(x)$ mit $U(x)\subseteq A^c$ gibt,
Randpunkt von $A$ , wenn jede Umgebung $U(x)$ wenigstens einen Punkt mit $A$ und einen Punkt mit $A^c$ gemeinsam hat.

Satz 16RC

M

wird bezüglich einer Teilmenge

A

in genau einer der drei Klassen (innerer Punkt, äußerer Punkt oder Randpunkt) eingeteilt.

Fall 1) Sei

x

Randpunkt, dann kann

x

weder innerer, noch äußerer Punkt sein. Fall 2) Sei

x

kein Randpunkt. Dann gibt es ein

U(x)

mit

U(x)\cap A=\OO

oder

U(x)\cap A^c=\OO

. (beide Möglichkeiten können nicht gleichzeitig eintreten!)

U(x)\cap A=\OO

\implies \,U(x)\subseteq A^c

U(x)\cap A^c=\OO

\implies \,U(x)\subseteq A

\qed

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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