Gleichmäßige Stetigkeit

Seien (X,d)(X,d), (Y,d~)(Y, \tilde{d}) metrische Räume, D⊂XD\subset X. Eine Abbildung f:D→Yf:D\rightarrow Y heißt genau dann gleichmäßig stetig , wenn:
∀ε>0 ∃δε>0 ∀x,y∈D:d(x,y)<δε⇒d~(f(x),f(y))<ε\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta_{\varepsilon}>0 \ \forall x,y \in D:d(x,y)<\delta_{\varepsilon} \Rightarrow \tilde{d} (f(x),f(y))<\varepsilon
Es war ff ist stetig auf DD ⇔∀x∈D ∀ε>0 ∃δε(x)>0 ∀y∈D:d(x,y)<δε(x)⇒d~(f(x),f(y))<ε\Leftrightarrow \forall x\in D \ \forall \varepsilon >0 \ \exists \delta_{\varepsilon} (x)>0 \ \forall y\in D:d(x,y)<\delta_{\varepsilon}(x)\Rightarrow \tilde{d}(f(x),f(y))<\varepsilon Ein Vergleich der beiden Definitionen zeigt: ff ist gleichmäßig stetig auf D⇒fD\Rightarrow f stetig auf DD. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht.

Beispiel

Sei D=]0,1]⊂R=X=YD=]0,1]\subset \R =X=Y, f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} Es gilt, dass ff in ]0,1]]0,1] stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist. Negation der gleichmäßigen Stetigkeit f:D→Yf:D\rightarrow Y ist auf DD nicht gleichmäßig stetig:
∃ε>0 ∀δε>0 ∃xδ,yδ∈D:∣xδ−yδ∣<δ∧∣f(xδ)−f(yδ)∣≥ε\exists \varepsilon >0 \ \forall \delta_{\varepsilon}>0 \ \exists x_{\delta},y_{\delta}\in D: |x_{\delta}-y_{\delta}|<\delta \wedge |f(x_{\delta})-f(y_{\delta})|\geq \varepsilon
In unserem Beispiel sei ε=1\varepsilon=1. Für δ>0\delta>0 wählen wir xδ=min⁡{1,δ}1+δx_{\delta}=\dfrac{\min\{1,\delta\}}{1+\delta}, yδ=min⁡{1,δ}∈]0,1] y_{\delta} =\min\{1,\delta\}\in ]0,1]. Dann gilt ∣xδ−yδ∣|x_{\delta}-y_{\delta}| =yδ−xδ = y_{\delta}-x_{\delta} =min⁡{1,δ}(1−11+δ) = \min\{1,\delta\}(1-\dfrac{1}{1+\delta})=min⁡{1,δ}δδ+1<δ = \min\{1,\delta\}\dfrac{\delta}{\delta+1}<\delta und ∣f(xδ)−f(yδ)∣ |f(x_{\delta})-f(y_{\delta})|=∣1xδ−1yδ∣ = \left|\dfrac{1}{x_{\delta}}-\dfrac{1}{y_{\delta}}\right| =1xδ−1yδ = \dfrac{1}{x_{\delta}}-\dfrac{1}{y_{\delta}}=1+δmin⁡{1,δ}−1min⁡{1,δ} = \dfrac{1+\delta}{\min\{1,\delta\}}-\dfrac{1}{\min\{1,\delta\}}=δmin⁡{1,δ} = \dfrac{\delta}{\min\{1,\delta\}}≥δδ=1 \geq \dfrac{\delta}{\delta}=1⇒f(x)=1x \Rightarrow f(x)=\dfrac{1}{x} nicht gleichmäßig stetig auf ]0,1] ]0,1] .

Satz 16JZ (Gleichmäßige Stetigkeit und kompakte Mengen)

Sei K⊂XK\subset X kompakt und f:K→Yf:K\rightarrow Y stetig. Dann gilt
  1. ff ist gleichmäßig stetig auf KK.
  2. f(K)f(K) ist kompakt.

Beweis

(i) Annahme: ff ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig auf KK ∃ε0>0 ∀δ>0 ∃xδ,yδ∈K:d(xδ,yδ)<δ∧d~(f(xδ),f(yδ))≥ε0\exists \varepsilon_0>0 \ \forall \delta >0 \ \exists x_{\delta},y_{\delta}\in K: d(x_{\delta}, y_{\delta})<\delta\wedge\tilde{d}(f(x_{\delta}),f(y_{\delta}))\geq \varepsilon_0 Insbesondere existiert für δn=1n\delta_n=\dfrac{1}{n} ein xn,ynx_n,y_n aus KK mit
d(xn,yn)<1n∧d~(f(xn),f(yn))≥ε0d(x_n,y_n)<\dfrac{1}{n} \wedge \tilde{d}(f(x_n),f(y_n))\geq \varepsilon_0.
Wegen der Kompaktheit existiert nach Satz 16JY eine Teilfolge (xnk)⊂(xn)(x_{n_k})\subset (x_n) mit xnk→a∈Kx_{n_k}\rightarrow a\in K . Außerdem gilt (ynk)→a∈K (y_{n_k})\rightarrow a\in K wegen d(ynk,a)≤d(ynk,xnk)+d(xnk,a)→0d(y_{n_k},a)\leq d(y_{n_k},x_{n_k})+d(x_{n_k},a) {\rightarrow}0 Wegen der Stetigkeit von ff gilt f(xnk)→f(a)f(x_{n_k})\rightarrow f(a) undf(ynk)→f(a)f(y_{n_k})\rightarrow f(a). Widerspruch.
(ii) Sei (yn)⊂f(K)(y_n)\subset f(K). Dann existiert xn∈K:f(xn)=ynkx_n \in K:f(x_n)=y_{n_k}. Wegen der Kompaktheit von KK existiert eine Teilfolge (xnk)⊂(xn)(x_{n_k})\subset (x_n), so dass xnk→a∈Kx_{n_k}\rightarrow a \in K und wegen der Stetigkeit von ff gilt ynk=f(xnk)→f(a)∈f(K)y_{n_k}=f(x_{n_k})\rightarrow f(a) \in f(K) ⇒f(K)\Rightarrow f(K) ist kompakt. □\qed

Satz 16K0

Sei K⊂XK\subset X kompakt und f:K→Rf:K\rightarrow\R stetig. Dann gilt:
∃p∈K:f(p)=sup⁡X∈Kf(x)\exists p \in K:f(p)=\sup_{X\in K}f(x)
ff nimmt auf KK ihr Maximum an.
∃q∈K:f(q)=inf⁡X∈Kf(x)\exists q \in K:f(q)=\inf_{X\in K}f(x)
ff nimmt auf KK ihr Minimum an.
Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen ihr Minimum und Maximum an. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung von Satz 15FV für reelle Funktionen.

Beweis

Für Maximum: Die Tatsache, dass ff stetig ist, impliziert, dass f(K)f(K) beschränkt ist. M:=sup⁡x∈Kf(x)∈RM:=\sup_{x\in K} f(x)\in\R ⇒∀n∈N ∃xn∈K:f(xn)≤M≤f(xn)+1n \Rightarrow \forall n \in \N \ \exists x_n\in K:f(x_n)\leq M\leq f(x_n)+\dfrac{1}{n}   ⟹  \implies es existiert eine Teilfolge (xnk)⊂(xn):xnk→p∈K (x_{n_k})\subset (x_n):x_{n_k}\rightarrow p\in K (weil KK kompakt) ⇒f(p)=lim⁡K→∞f(xn+k)=M {\Rightarrow} f(p)=\lim_{K\rightarrow \infty} f(x_{n+k})=M (weil ff stetig ist).
Der Beweis fürs Minimum kann analog geführt werden. □\qed
Satz 16K0 ist im allgemeinen falsch, falls KK nicht kompakt ist. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}. Diese hat auf dem Intervall ]0,∞[]0,\infty [ weder ein Maximum noch ein Minimum.
 
 

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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