Sätze über stetige Funktionen

Stetige Funktionen haben eine Reihe von "guten" Eigenschaften, welche die Untersuchungen dieser Funktionen erleichtern.

Satz 15FT (Beschränktheit stetiger Funktionen)

Ist ff auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b][a,b] stetig, dann ist ff dort beschränkt.

Beweis

Indirekt. Sei ff nicht beschränkt. Dann gibt zu jeder natürlichen Zahl nn ein xn∈[a,b]x_n\in[a,b] mit
∣f(xn)∣>n|f(x_n)|>n.(1)
Die Folge (xn)(x_n) ist beschränkt und besitzt nach Satz 12UH eine konvergente Teilfolge xnk→x0{x_n}_k\rightarrow x_0, wobei x0∈[a,b]x_0\in [a,b] gilt. Nun ist aber ff stetig, es gilt mithin f(xnk)→f(x0)f({x_n}_k)\rightarrow f(x_0) im Widerspruch zu (1). □\qed

Satz 15FV (Weierstraß)

Eine auf einem abgeschlossenem Intervall [a,b][a,b] stetige Funktion ff nimmt dort ihr Maximum und Minimum an.
Dieser Satz kann auf metrische Räume verallgemeinert werden (Satz 16K0). Die Voraussetzung muss dann jedoch verschärft werden (kompakte Menge statt abgeschlossen).

Beweis

Sei M=sup⁡{f(x)}M=\sup\{f(x)\} das Supremum der Funktionswerte. Dieses existiert auf Grund von Satz 15FT und dem Vollständigkeitsaxiom. Nehmen wir nun an, dass f(x)<Mf(x)<M für alle x∈[a,b]x\in[a,b]. Wir definieren die folgende Hilfsfunktion
g(x)=1M−f(x)g(x)=\dfrac 1 {M-f(x)}.
Der Nenner ist immer von 0 verschieden und nach Satz 5227M ist gg stetig und damit nach Satz 15FT auch beschränkt. Sei μ\my eine obere Schranke von gg. Also ist g(x)≤μg(x)\leq \my (μ>0\my>0) und damit 1M−f(x)≤μ\dfrac 1 {M-f(x)}\leq \my, wonach auch
f(x)≤M−1μf(x)\leq M-\dfrac 1 {\my}
gilt.
So ist auch M−1μM-\dfrac 1 {\my} eine obere Schranke von ff, im Widerspruch zur Supremungseigenschaft von MM.
Fürs Minimum kann ein analoger Beweis geführt werden. □\qed
 
 

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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