Beziehung zu Folgen

Zwischen dem Funktionsgrenzwert und dem Folgengrenzwert besteht folgender Zusammenhang:

Satz 5225E (Zusammenhang zwischen Folgen- und Funktionsgenzwert)

Für eine Funktion ff gilt lim⁡x→af(x)=A\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)=A genau dann für jede gegen aa konvergierende Folge (xn)(x_n) gilt: lim⁡n→∞f(xn)=A\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=A.

Beweis

"⇒\Rightarrow" Sei (xn)(x_n) eine beliebige Folge mit xn→ax_n\rightarrow a und es gelte lim⁡x→af(x)=A\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)=A.
Für ein beliebiges ϵ>0\epsilon>0 finden wir ein δ>0\delta>0 mit ∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−A∣<ϵ|x-a|<\delta\implies |f(x)-A|<\epsilon. Wenn wir für dieses δ\delta die Folgenglieder betrachten, wissen wir wegen xn→ax_n\rightarrow a, dass es ein n0n_0 geben muss, so dass ∣xn−a∣<δ|x_n-a|<\delta für alle n>n0n>n_0. Also muss auch ∣f(xn)−A∣<ϵ|f(x_n)-A|<\epsilon gelten und damit f(xn)→Af(x_n)\rightarrow A.
"⇐\Leftarrow" Indirekter Beweis. Sei AA nicht der Grenzwert der Funktion ff an der Stelle aa. Dann gibt es ein ϵ>0\epsilon>0 so dass für alle δ>0\delta>0 ein x′x' existiert mit ∣x′−a∣<δ|x'-a|<\delta und ∣f(x′)−A∣≥ϵ|f(x')-A|\geq \epsilon. Wählen wir jetzt eine Folge von δn\delta_n mit δn→0\delta_n\rightarrow 0, dann finden wir für jedes dieser δn\delta_n ein xn′x'_n mit obiger Eigenschaft. Wir können so also eine Folge (xn′)(x'_n) konstruieren mit xn′→ax'_n\rightarrow a. Nach Voraussetzung muss dann aber f(xn′)→Af(x'_n)\rightarrow A gelten. Dies ist aber im Widerspruch zu ∣f(x′)−A∣≥ϵ|f(x')-A|\geq \epsilon. □\qed

Satz 16QP (Cauchykriterium für Funktionsgrenzwerte)

Der Funktionsgrenzwert lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\to x_0} f(x) existiert genau dann, wenn
∀ϵ>0 ∃δ>0:∣x−y∣<δ   ⟹   ∣f(x)−f(y)∣<ϵ\forall \epsilon>0 \,\exists \delta>0: |x-y|<\delta\,\implies\, |f(x)-f(y)|<\epsilon.

Beweis

"  ⟹  \implies": Wenn a=lim⁡x→x0f(x)a=\lim\limits_{x\to x_0} f(x) finden wir x,yx,y mit ∣x−x0∣<δ2|x-x_0|<\dfrac\delta 2   ⟹  ∣f(x)−f(x0)∣<ϵ2\implies |f(x)-f(x_0)|<\dfrac\epsilon 2 und ∣y−x0∣<δ2|y-x_0|<\dfrac\delta 2   ⟹  ∣f(y)−f(x0)∣<ϵ2\implies |f(y)-f(x_0)|<\dfrac\epsilon 2. Dann gilt einerseits ∣x−y∣=∣x−x0+x0−y∣|x-y|=|x-x_0+x_0-y|<=∣x−x0∣⎵<δ2+∣y−x0∣⎵<δ2<δ <=\underbrace{ |x-x_0|}_{<\frac\delta 2}+\underbrace{ |y-x_0|}_{<\frac\delta 2}<\delta und andererseits ∣f(x)−f(y)∣=∣f(x)−f(x0)+f(x0)−f(y)∣|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(x_0)+f(x_0)-f(y)| <=∣f(x)−f(x0)∣⎵<ϵ2+∣f(y)−f(x0)∣⎵<ϵ2<ϵ <=\underbrace{ |f(x)-f(x_0)|}_{<\frac\epsilon 2}+\underbrace{ |f(y)-f(x_0)|}_{<\frac\epsilon 2}<\epsilon .
"⇐\Leftarrow": Sei (xn)(x_n) eine gegen x0x_0 konvergierende Folge. Nach dem Cauchykriterium gilt für geeignete ϵ\epsilon, δ\delta: ∣x−y∣<δ   ⟹   ∣f(x)−f(y)∣|x-y|<\delta\,\implies\, |f(x)-f(y)|, also auch für alle Folgenglieder mit k,m>Nk,m>N: ∣xk−xm∣<δ   ⟹   ∣f(xk)−f(xm)∣|x_k-x_m|<\delta\,\implies\, |f(x_k)-f(x_m)|. Damit ist die Folge der Funktionswerte (f(xn))(f(x_n)) eine Cauchyfolge und nach Satz 5225B konvergent. Da die Folge (xn)(x_n) beliebig gewählt war, können wir Satz 5225E anwenden und lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\to x_0} f(x) existiert. □\qed
 
 

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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