Stetigkeit reeller Funktionen

Eine reelle Funktion \(\displaystyle f\) heißt an einer Stelle \(\displaystyle x_0\) stetig, wenn es zu jedem \(\displaystyle \epsilon>0\) ein \(\displaystyle \delta>0\) gibt, so dass für alle \(\displaystyle x\) mit \(\displaystyle |x-x_0|<\delta\) gilt: \(\displaystyle |f(x)-f(x_0)|<\epsilon\), oder formaler ausgedrückt:
\(\displaystyle \forall \epsilon>0 \exists \delta>0\forall x: |x-x_0|<\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)
Die Funktion \(\displaystyle f\) heißt auf einer Menge \(\displaystyle D\subseteq\Domain(f)\) stetig, wenn sie für alle \(\displaystyle x\in D\) stetig ist.
Anschaulich kann man sich stetige Funktionen als durchgezogene Funktionsgraphen ohne Sprünge vorstellen.
Die Stetigkeit steht zum Grenzwert einer Funktion in folgender Beziehung
 
 

Satz 5225F

Eine Funktion \(\displaystyle f\) ist genau dann an einer Stelle \(\displaystyle x_0\) stetig, wenn \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)\) gilt.

Beweis

Die Behauptung ergibt sich durch Vergleich der Definition der Stetigkeit mit derjenigen des Funktionsgrenzwerts. \(\displaystyle \qed\)

Beispiel

\(\displaystyle f:\R\rightarrow \R\) mit \(\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1} & x \neq 1\\1 & x=1\end{cases} \) ist and der Stelle \(\displaystyle x=1\) nicht stetig, denn es ist \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2\neq 1=f(1)\). Hätten wir die Funktion mit \(\displaystyle f(1):=2\) definiert, wäre \(\displaystyle f\) stetig für \(\displaystyle x=1\) und \(\displaystyle f\equiv g\) mit \(\displaystyle g(x)=x+1\).

Satz 5227M

Summe, Differenz und Produkt stetiger Funktionen ist eine stetige Funktion.
Wenn \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle x_0\) stetig und verschieden von Null ist, dann ist auch \(\displaystyle \dfrac 1 f\) stetig in \(\displaystyle x_0\)

Beweis

Folgt unmittelbar aus Satz 5225F und Satz 5227L. \(\displaystyle \qed\)

Satz 5227N

Alle Polynome sind stetig
Die rationalen Funktionen in den Punkten stetig, wo der Nenner von Null verschieden ist.
Alle durch Potenzreihen darstellbare Funktionen sind in ihrem Konvergenzintervall stetig.

Beweis

Ist eine unmittelbare Folgerung aus Satz 5227M. \(\displaystyle \qed\)

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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