Stetigkeit reeller Funktionen

Eine reelle Funktion ff heißt an einer Stelle x0x_0 stetig, wenn es zu jedem ϵ>0\epsilon>0 ein δ>0\delta>0 gibt, so dass für alle xx mit ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta gilt: ∣f(x)−f(x0)∣<ϵ|f(x)-f(x_0)|<\epsilon, oder formaler ausgedrückt:
∀ϵ>0∃δ>0∀x:∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(x0)∣<ϵ\forall \epsilon>0 \exists \delta>0\forall x: |x-x_0|<\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon
Die Funktion ff heißt auf einer Menge D⊆dom(f)D\subseteq\Domain(f) stetig, wenn sie für alle x∈Dx\in D stetig ist.
Anschaulich kann man sich stetige Funktionen als durchgezogene Funktionsgraphen ohne Sprünge vorstellen.
Die Stetigkeit steht zum Grenzwert einer Funktion in folgender Beziehung

Satz 5225F

Eine Funktion ff ist genau dann an einer Stelle x0x_0 stetig, wenn lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0) gilt.

Beweis

Die Behauptung ergibt sich durch Vergleich der Definition der Stetigkeit mit derjenigen des Funktionsgrenzwerts. □\qed

Beispiel

f:R→Rf:\R\rightarrow \R mit f(x)={x2−1x−1x≠11x=1f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1} & x \neq 1\\1 & x=1\end{cases} ist and der Stelle x=1x=1 nicht stetig, denn es ist lim⁡x→1f(x)=2≠1=f(1)\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2\neq 1=f(1). Hätten wir die Funktion mit f(1):=2f(1):=2 definiert, wäre ff stetig für x=1x=1 und f≡gf\equiv g mit g(x)=x+1g(x)=x+1.

Satz 5227M

Summe, Differenz und Produkt stetiger Funktionen ist eine stetige Funktion.
Wenn ff in x0x_0 stetig und verschieden von Null ist, dann ist auch 1f\dfrac 1 f stetig in x0x_0

Beweis

Folgt unmittelbar aus Satz 5225F und Satz 5227L. □\qed

Satz 5227N

Alle Polynome sind stetig
Die rationalen Funktionen in den Punkten stetig, wo der Nenner von Null verschieden ist.
Alle durch Potenzreihen darstellbare Funktionen sind in ihrem Konvergenzintervall stetig.
Die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktion sind stetig.

Beweis

Ist eine unmittelbare Folgerung aus Satz 5227M. □\qed
 
 

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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