Sätze zum Funktionsgrenzwert

Satz 5227L

Wenn lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) und lim⁡x→x0g(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x) existieren, dann gilt:
  1. Linearität des Grenzwertes lim⁡x→x0c⋅f(x)=c⋅lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) für c∈Rc\in \dom R lim⁡x→x0(f(x)+g(x))=lim⁡x→x0f(x)+lim⁡x→x0g(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)+\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)
  2. lim⁡x→x0(f(x)⋅g(x))=lim⁡x→x0f(x)⋅lim⁡x→x0g(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (f(x)\cdot g(x))=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)
  3. lim⁡x→x0 f(x)g(x)=lim⁡x→x0f(x)lim⁡x→x0g(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\, \dfrac {f(x)} {g(x)}=\dfrac {\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)} falls lim⁡x→x0g(x)≠0\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)\neq 0
 
 

Beweis

Mittels Satz 5225E überführt man die Behauptungen in die Sprache der Folgen und wendet dann Satz 5225C an und kann dann mit Satz 5225E wieder auf den Funktionsgrenzwert schließen. □\qed

Satz 15VD

Für eine Funktion ff gelte
lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A
und es sei A>pA>p (A<qA<q) so genügen alle nahe bei x0x_0 gelegenen Punke selbst der Ungleichung
f(x)>pf(x)>p bzw. (f(x)<qf(x)<q).
Insbesondere sind Funktionen, die an einer Stelle gegen einen positiven (negativen) Grenzwert streben, in der Nähe dieser Stelle selbst positiv (negativ).

Beweis

Wir wählen 0<ϵ<A−p0<\epsilon<A-p. Dann ist A−ϵ>pA-\epsilon>p. Jetzt wenden wir die Definition des Funktionsgrenzwertes an. Danach gibt es für unser ϵ\epsilon ein δ>0\delta>0, dass für ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta gilt:∣f(x)−A∣<ϵ|f(x)-A|<\epsilon, also auch
p<A−ϵ<f(x)<A+ϵp<A-\epsilon<f(x)< A+\epsilon (Lemma 5223A)
Analog zeigt man die Behauptung im Fall A<qA<q □\qed

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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