Grenzwerte reeller Funktionen

Sei eine reelle Funktion \(\displaystyle f\) in der Umgebung einer Stelle \(\displaystyle x_0\) definiert (sie muss nicht unbedingt an der Stelle \(\displaystyle x_0\) definiert sein). Dann hat \(\displaystyle f\) an der Stelle \(\displaystyle x_0\) den Grenzwert \(\displaystyle a\), geschrieben \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a\), wenn es zu jedem \(\displaystyle \epsilon>0\) ein \(\displaystyle \delta>0\) gibt, so dass für alle \(\displaystyle x\) mit \(\displaystyle |x-x_0|<\delta\) gilt: \(\displaystyle |f(x)-a|<\epsilon\). Formal aufgeschrieben:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a\;\iff\; \forall \epsilon>0\exists \delta>0 \forall x: |x-x_0|<\delta\implies |f(x)-a|<\epsilon\)
Anschaulich bedeutet der Grenzwert, dass wenn die Argumente nahe bei \(\displaystyle x_0\) liegen, dann liegt der Funktionswert auch nahe bei \(\displaystyle a\).
 
 

Beispiel 15J5

xsin1durchx.png
Wir betrachten die Funktion
\(\displaystyle f(x)=x\cdot \sin\dfrac 1 x\).
Diese Funktion ist für \(\displaystyle x_0=0\) nicht definiert. Anhand des Graphen der Funktion liegt die Vermutung nahe, dass
(1)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x) =\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot \sin\dfrac 1 x=0\)
gilt.
Sei \(\displaystyle \epsilon>0\) gegeben. Wir müssen jetzt ein \(\displaystyle \delta>0\) finden, so dass aus
(2)
\(\displaystyle |x-0|=|x|<\delta\)
folgt, dass
(3)
\(\displaystyle |f(x)-0|=\ntxbraceI{x\cdot \sin\dfrac 1 x}<\epsilon\)
gilt.
Es ist \(\displaystyle \ntxbraceI{x\cdot \sin\dfrac 1 x}=|x|\cdot \ntxbraceI {\sin\dfrac 1 x}\) und \(\displaystyle |\sin x|\leq 1\) wegen der Definition des Sinus.
Damit gilt \(\displaystyle \ntxbraceI{x\cdot \sin\dfrac 1 x}\leq |x|\) und wegen (2) brauchen wir nur \(\displaystyle \epsilon=\delta\) zu setzen, um (3) zu erfüllen. Damit ist (1) gezeigt.

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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