Differentialrechnung

Wenn für eine reelle Funktion ff an der Stelle x0x_0 der Grenzwert
d⁡fd⁡x(x0)=f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\dfrac { \d f}{\d x } (x_0) =f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac { f(x)-f(x_0)} {x-x_0}
existiert, dann heißt dieser Differentialquotient oder Ableitung von ff an der Stelle x0x_0. Die Funktion heißt an dieser Stelle differenzierbar oder ableitbar.
Ist eine Funktion ff an jeder Stelle einer Teilmenge M⊆dom(f)M\subseteq\Domain (f) differenzierbar, so heißt sie auf MM differenzierbar. Ist die Ableitung als Funktion betrachtet stetig, so heißt ff stetig differenzierbar.
Eine andere Formulierung der Definition erhalten wir, wenn wir h:=x−x0h:=x-x_0 setzen:
f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac { f(x_0+h)-f(x_0)} {h}
 
 

Beispiel

Die Ableitung von y=f(x)=x2y=f(x)=x^2 an der Stelle x0x_0 ist f ′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf\, '(x_0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac { f(x_0+h)-f(x_0)} {h} =lim⁡h→0(x0+h)2−x02h=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac { (x_0+h)^2-x_0^2} {h} =lim⁡h→0x02+2x0h+h2−x02h=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac { x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2} {h} =lim⁡h→0(2x0+h)=2x0=\lim\limits_{h\rightarrow 0} (2x_0+h)=2x_0
Die Ableitungsfunktion ist dann y′=2xy'=2x.

Geometrische Deutung

Ableitung.png
Wenn wir uns den Graphen der Funktion ff in der euklidischen Ebene veranschaulichen und die Punkte P=(x0;f(x0))P=(x_0; f(x_0)) und Q=(x;f(x))Q=(x; f(x)) durch eine Gerade verbinden, erhalten wir eine Sekante an den Graphen der Funktion.
Der Differenzenquotient
ΔyΔx=f(x)−f(x0)x−x0=tan⁡α\dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac { f(x)-f(x_0)} {x-x_0}=\tan\alpha
entspricht dem Anstieg dieser Geraden.
Durch den Grenzübergang x→x0x\rightarrow x_0 geht die Sekante in die Tangente an die Kurve im Punkt PP über. Die Ableitung
f ′(x0)=tan⁡βf\, '(x_0)=\tan\beta
ist dann der Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion in diesem Punkt.

Beispiel

Sei die Normalparabel y=f(x)=x2y=f(x)=x^2 gegeben. Wir wollen die Gleichung der Tangenten and die Funktion an der Stelle x0=2x_0=2 bestimmen.
Die Ableitung ist y′=2xy'=2x, die gesuchte Gerade muss also den Anstieg m=2x0=4m=2x_0=4 haben. Wir setzen als Geradengleichung
g(x)=4x+ng(x)=4x+n(1)
an. Um die fehlende Größe nn zu ermitteln, bestimmen wir f(x0)=f(2)=4f(x_0)=f(2)=4 und setzen dies in (1) ein, um
4=4⋅2+n4=4\cdot2+n(2)
zu erhalten. Damit ergibt sich n=−4n=-4 und die gesuchte Geradengleichung ist:
g(x)=4x−4g(x)=4x-4.(3)

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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