Differentialrechnung

Wenn für eine reelle Funktion \(\displaystyle f\) an der Stelle \(\displaystyle x_0\) der Grenzwert
\(\displaystyle \dfrac { \d f}{\d x } (x_0) =f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac { f(x)-f(x_0)} {x-x_0} \)
existiert, dann heißt dieser Differentialquotient oder Ableitung von \(\displaystyle f\) an der Stelle \(\displaystyle x_0\). Die Funktion heißt an dieser Stelle differenzierbar oder ableitbar.
Ist eine Funktion \(\displaystyle f\) an jeder Stelle einer Teilmenge \(\displaystyle M\subseteq\Domain (f)\) differenzierbar, so heißt sie auf \(\displaystyle M\) differenzierbar. Ist die Ableitung als Funktion betrachtet stetig, so heißt \(\displaystyle f\) stetig differenzierbar.
Eine andere Formulierung der Definition erhalten wir, wenn wir \(\displaystyle h:=x-x_0\) setzen:
\(\displaystyle f'(x_0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac { f(x_0+h)-f(x_0)} {h} \)
 
 

Beispiel

Die Ableitung von \(\displaystyle y=f(x)=x^2\) an der Stelle \(\displaystyle x_0\) ist \(\displaystyle f\, '(x_0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac { f(x_0+h)-f(x_0)} {h} \) \(\displaystyle =\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac { (x_0+h)^2-x_0^2} {h} \) \(\displaystyle =\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac { x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2} {h} \) \(\displaystyle =\lim\limits_{h\rightarrow 0} (2x_0+h)=2x_0\)
Die Ableitungsfunktion ist dann \(\displaystyle y'=2x\).

Geometrische Deutung

Ableitung.png
Wenn wir uns den Graphen der Funktion \(\displaystyle f\) in der euklidischen Ebene veranschaulichen und die Punkte \(\displaystyle P=(x_0; f(x_0))\) und \(\displaystyle Q=(x; f(x))\) durch eine Gerade verbinden, erhalten wir eine Sekante an den Graphen der Funktion.
Der Differenzenquotient
\(\displaystyle \dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac { f(x)-f(x_0)} {x-x_0}=\tan\alpha\)
entspricht dem Anstieg dieser Geraden.
Durch den Grenzübergang \(\displaystyle x\rightarrow x_0\) geht die Sekante in die Tangente an die Kurve im Punkt \(\displaystyle P\) über. Die Ableitung
\(\displaystyle f\, '(x_0)=\tan\beta\)
ist dann der Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion in diesem Punkt.

Beispiel

Sei die Normalparabel \(\displaystyle y=f(x)=x^2\) gegeben. Wir wollen die Gleichung der Tangenten and die Funktion an der Stelle \(\displaystyle x_0=2\) bestimmen.
Die Ableitung ist \(\displaystyle y'=2x\), die gesuchte Gerade muss also den Anstieg \(\displaystyle m=2x_0=4\) haben. Wir setzen als Geradengleichung
(1)
\(\displaystyle g(x)=4x+n\)
an. Um die fehlende Größe \(\displaystyle n\) zu ermitteln, bestimmen wir \(\displaystyle f(x_0)=f(2)=4\) und setzen dies in (1) ein, um
(2)
\(\displaystyle 4=4\cdot2+n\)
zu erhalten. Damit ergibt sich \(\displaystyle n=-4\) und die gesuchte Geradengleichung ist:
(3)
\(\displaystyle g(x)=4x-4\).

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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