Ableitung als Linearisierung

Differenzieren bedeutet Linearisieren. Die Ableitung ist nichts anderes als der Anstieg der Tangente und mit dem folgenden Satz die lineare Funktion, die die ursprüngliche Funktion am besten annähert.

Satz 15VC

Wenn für eine Funktion \(\displaystyle f\) an der Stelle \(\displaystyle x_0\) die Ableitung \(\displaystyle f\, '(x_0)\) existiert, dann ist
\(\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\) \(\displaystyle +R(x)\cdot(x-x_0)\),
wobei \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}R(x)=0\) gilt.
AblLin.png
Für Werte nahe \(\displaystyle 0\) kann man den Wert von \(\displaystyle R(x)\) vernachlässigen und der Term für \(\displaystyle f(x)\) ist eine Geradengleichung.
 
 

Beweis

Wir wählen \(\displaystyle R(x)=\dfrac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} -f´(x_0)\) für \(\displaystyle x\neq x_0\) und \(\displaystyle R(x_0)=0\). Dann ist wegen der Definition der Ableitung \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}R(x)=0\).
Es gilt dann:
\(\displaystyle f(x_0)+f´(x_0)\cdot(x-x_0)+\braceNT{\dfrac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} -f´(x_0)}\cdot(x-x_0)=f(x)\).
\(\displaystyle \qed\)

Beispiel

Für die Funktion \(\displaystyle f(x)=\sin x\) wollen wir eine Näherung für \(\displaystyle x_0=0\) ermitteln. Es ist \(\displaystyle f\, '(x)=\cos x\) (Satz 5317E) und damit gilt:
\(\displaystyle f(x)\approx \sin 0 +\cos 0(x-0)= x\).
Es gilt \(\displaystyle \sin (0,1)\approx 0,09983\approx 0,1\), womit die Näherung für kleine \(\displaystyle x\) sehr gut zu sein scheint.

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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