Ableitung der Winkelfunktionen

Satz 5317E

  1. d⁡d⁡x sin⁡x=cos⁡x\dfrac \d {\d x} \, \sin x=\cos x d⁡d⁡x cos⁡x=−sin⁡x\dfrac \d {\d x} \, \cos x=-\sin x
  2. d⁡d⁡x tan⁡x=1cos⁡2x\dfrac \d {\d x} \, \tan x=\dfrac 1 {\cos^2 x} d⁡d⁡x cot⁡x=−1sin⁡2x\dfrac \d {\d x} \, \cot x=-\dfrac 1 {\sin^2 x}

Beweis

i. d⁡d⁡x sin⁡x=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡xh\dfrac \d {\d x} \, \sin x=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac {\sin(x+h)-\sin x} h
=lim⁡h→02sin⁡h2cos⁡2x+h2h=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac {2\sin {\dfrac h 2} \cos {\dfrac {2x+h} 2}} h (Satz 5316D ii)
=lim⁡h→0cos⁡(x+h2)⋅sin⁡h2h2=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\cos\braceNT{x+ \dfrac h 2} \cdot\dfrac {\sin \dfrac h 2 } {\dfrac h 2} =lim⁡h→0cos⁡(x+h2)⋅lim⁡h→0sin⁡h2h2=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\cos\braceNT{x+ \dfrac h 2} \cdot\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac {\sin \dfrac h 2 } {\dfrac h 2}
=cos⁡x=\cos x (wegen lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x} x=1 aus Beispiel 5319B)
d⁡d⁡x cos⁡x=d⁡d⁡x sin⁡(π2+x)\dfrac \d {\d x} \, \cos x=\dfrac \d {\d x} \, \sin\braceNT{\dfrac\pi 2+ x} =cos⁡(π2+x)=−sin⁡x=\cos \braceNT{\dfrac\pi 2+ x}=-\sin x (Satz 5220B)
ii. d⁡d⁡x tan⁡x=d⁡d⁡x sin⁡xcos⁡x\dfrac \d {\d x} \, \tan x= \dfrac \d {\d x} \, \dfrac {\sin x}{\cos x} =cos⁡x⋅cos⁡x+sin⁡x⋅sin⁡xcos⁡2x=\dfrac{\cos x\cdot \cos x+\sin x\cdot \sin x}{\cos^2 x} =1cos⁡2x=\dfrac 1 {\cos^2 x}
Kotangens analog. □\qed
 
 

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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