Ableitung der hyperbolischen Funktionen

Satz 5318E

  1. d⁡d⁡x sinh⁡x=cosh⁡x\dfrac \d {\d x}\, \sinh x=\cosh x d⁡d⁡x cosh⁡x=sinh⁡x\dfrac \d {\d x}\, \cosh x=\sinh x
  2. d⁡d⁡x tanh⁡x=1cosh⁡2x\dfrac \d {\d x}\, \tanh x=\dfrac 1 {\cosh^2 x} d⁡d⁡x coth⁡x=−1sinh⁡2x\dfrac \d {\d x}\, \coth x=-\dfrac 1 {\sinh^2 x}

Beweis

i. Wir benutzen die Definition des Hyperbelsinus und erhalten: d⁡d⁡x sinh⁡x\dfrac \d {\d x}\, \sinh x =d⁡d⁡x 12(e⁡x−e⁡−x)=\dfrac \d {\d x}\, \dfrac 1 2 (\e^x-\e^{\uminus x}) =12(e⁡x+e⁡−x)=cosh⁡x=\dfrac 1 2 (\e^x+\e^{\uminus x})=\cosh x
Für den Hyperbelkosinus berechnet man die Ableitung analog.
ii. Unter Benutzung der Definition von Hyperbeltangens und Hyperbelkotangens bzw. der Quotientenregel ergeben sich die Ableitungen. □\qed
 
 

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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Differentialrechnung