Ableitung rationaler Funktionen

Satz 5317D

d⁡d⁡xxn=1nxn−1n\dfrac \d {\d x} \sqrtN n{x}=\dfrac 1 {n\sqrtN n{x^{n-1}}}
Speziell:
d⁡d⁡xx=12x\dfrac \d {\d x} \sqrt{x}=\dfrac 1 {2\sqrt{x}}

Beweis

Man benutze die Regeln für Umkehrfunktionen (Satz 5317B) und die Ergebnisse von Satz 5317C. □\qed

Folgerung

Damit können unter Benutzung der Quotientenregel alle rationalen Funktionen differenzieren
 
 

Beispiele

d⁡d⁡xx2+1\dfrac \d {\d x} \sqrt{x^2+1}=12⋅1x2+1⋅2x=\dfrac 1 2 \cdot \dfrac 1{ \sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=xx2+1=\dfrac x {\sqrt{x^2+1}}

Beispiel 5318B

d⁡d⁡x x1+x2\dfrac \d {\d x} \, \dfrac x {\sqrt{1+x^2}} =1+x2−x⋅2x21+x21+x2=\dfrac{ \sqrt{1+x^2}-x\cdot\dfrac {2x} {2\sqrt{1+x^2}} }{1+x^2} =1(1+x2)3=\dfrac {1}{{\sqrt{(1+x^2)^3}}}

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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Differentialrechnung