Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktionen

Satz 5318D

  1. d⁡d⁡x e⁡x=e⁡x\dfrac \d {\d x}\, \e^x=\e^x d⁡d⁡x ln⁡x=1x\dfrac \d {\d x}\, \ln x=\dfrac 1 x
  2. d⁡d⁡x ax=ax⋅ln⁡a\dfrac \d {\d x}\, a^x=a^x\cdot\ln a d⁡d⁡x log⁡ax=1xln⁡a\dfrac \d {\d x}\, \log_a x=\dfrac 1 {x\ln a} a∈Ra\in \dom R

Beweis

i. d⁡d⁡x e⁡x=lim⁡h→0e⁡x+h−e⁡xh\dfrac \d {\d x}\, \e^x=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac {\e^{x+h}-\e^x} h =lim⁡h→0e⁡xe⁡h−e⁡xh=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac {\e^x\e^h-\e^x} h =e⁡x⋅lim⁡h→0e⁡h−1h=\e^x\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac {\e^h-1} h
=e⁡x=\e^x (denn lim⁡h→0e⁡h−1h=1\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac {\e^h-1} h=1 nach Beispiel 5319A)
Die Logarithmusfunktion leiten wir als Umkehrung der Exponentialfunktion ab (Satz 5317B). Mit x=e⁡yx=\e^y ergibt sich d⁡xd⁡y=e⁡y\dfrac {\d x}{\d y}=\e^y, also d⁡yd⁡x=1e⁡y=1x\dfrac {\d y}{\d x}=\dfrac 1 {\e^y}=\dfrac 1 x
ii. d⁡d⁡x ax=d⁡d⁡x e⁡x⋅ln⁡a=e⁡x⋅ln⁡a⋅ln⁡a=ax⋅ln⁡a\dfrac \d {\d x}\, a^x=\dfrac \d {\d x}\, \e^{x\cdot\ln a}= \e^{x\cdot\ln a}\cdot\ln a=a^x\cdot\ln a
Den Logarithmus leitet man entsprechend ab oder über die Umkehrfunktion. □\qed
 
 

Differenzieren nach Logarithmieren

Alle bisherigen Regeln erlauben es z.B. nicht die Funktion y=xxy=x^x abzuleiten. Hier muss man zu einem Trick greifen. Haben wir Funktionen der Form y=f(x)g(x)y=f(x)^{g(x)}, so logarithmieren wir beide Seiten und erhalten
ln⁡y=g(x)⋅ln⁡f(x)\ln y= g(x)\cdot\ln f(x)(1)
Die Gleichung (1) bleibt sicher weiter gültig, wenn man die Ableitung bildet. Bei der Ableitung von ln⁡y\ln y ist dabei zu beachten, dass yy von xx abhängt, man also die Kettenregel anwenden muss:
1y y´=g′(x)ln⁡f(x)+f ´(x)f(x)g(x)\dfrac 1 y\, y´=g'(x)\ln f(x)+\dfrac {f\, ´(x)}{f(x)} g(x),
nach Rückeinsetzen:
y´=f(x)g(x)(g′(x)ln⁡f(x)+f ′(x)f(x)g(x))y´=f(x)^{g(x)}\braceNT{g'(x)\ln f(x)+\dfrac {f\, '(x)}{f(x)} g(x)}

Beispiel

y=xxy=x^x ergibt nach dem Logarithmieren ln⁡y=x⋅ln⁡x\ln y= x\cdot\ln x. Und die Ableitung ist dann
1y y´=ln⁡x+1\dfrac 1 y\, y´=\ln x+1
Also:
y´=xx(1+ln⁡x)y´=x^x(1+\ln x).

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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