Logarithmen

Die Anwendung des Logarithmus, das "Logarithmieren", ist eine Umkehroperation des Potenzierens. Sie löst also die Gleichung a=bxa = b^x nach dem Exponenten xx auf; hier ist der Logarithmus nur ein anderer Begriff für Exponent (Für den Logarithmus als Funktion, siehe Logarithmusfunktion).
 
 

Überblick

Logarithmen erlangten ihre historische Bedeutung durch den Zusammenhang
log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y,\log(xy) = \log x + \log y,
der es erlaubt, eine Multiplikation durch eine Addition auszudrücken.
Formal sind Logarithmen alle Lösungen xx der Gleichung
a=bxa = b^x
zu vorgegebenen Größen aa und bb.
Je nachdem, über welchem Zahlenbereich und für welche Größen diese Gleichung betrachtet wird, hat sie keine, mehrere oder genau eine Lösung. Ist die Lösung eindeutig, dann wird sie als der Logarithmus von aa zur Basis bb bezeichnet und man schreibt
x=log⁡bax = \log_b a
Beispielsweise ist 3 der (reelle) Logarithmus von 8 zur Basis 2, geschrieben log⁡28=3\log_2 8 = 3, denn es ist 23=82^3=8.
Falls die obige Gleichung nach bb aufzulösen ist anstatt nach xx, so ist die Lösung gegeben durch die xx-te Wurzel aus aa.

Berechnung

Bezeichnungen

Man schreibt als mathematisches Zeichen für den Logarithmus von aa zur Basis bb
x=log⁡ba x = \log_b a\,
und sagt: xx ist der Logarithmus von aa zur Basis bb oder auch xx ist der Logarithmus zur Basis bb aus aa' aa heißt Numerus oder veraltet auch Logarithmand.
Für die Vorkommastellen des Logarithmus wird teilweise der Begriff Kennzahl verwendet, und seine Nachkommastellen werden Mantisse genannt.
log⁡b a\operatorname{log}_b\,a
Das allgemeine mathematischen Zeichen für den Logarithmus. Seltener findet man auch davon abweichende Schreibweisen, wie zum Beispiel b  ⁣log⁡a{}_b \,\!\log a.
log⁡ a\operatorname{log}\,a
Das Zeichen log⁡\log ohne eine angegebene Basis wird verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt, wenn diese getrennt vereinbart wird, aus dem Zusammenhang ersichtlich ist oder aufgrund einer Konvention festgelegt ist. In technischen Anwendungen (so z. B. auf den meisten Taschenrechnern) steht log⁡\log oft für den dekadischen Logarithmus. In theoretischen Abhandlungen steht log⁡\log oft für den natürlichen Logarithmus.
ln⁡ a\operatorname{ln}\,a
logarithmus naturalis bzw. natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur Basis ee, der Eulerschen Zahl 2,7182818284590452… ; er wird in Zusammenhang mit Exponentialfunktionen verwendet.
lg⁡ a\operatorname{lg}\,a
dekadischer Logarithmus, auch als Zehnerlogarithmus oder Briggsscher Logarithmus bezeichnet, der Logarithmus zur Basis 10; er wird bei numerischen Rechnungen im Dezimalsystem verwendet.
lb⁡ a\operatorname{lb}\,a
binärer Logarithmus, auch als Zweierlogarithmus bezeichnet, der Logarithmus zur Basis 2; er wird in der Informatik bei Rechnungen im Binärsystem verwendet. Außerhalb der Norm wird mit gleicher Bedeutung auch ld⁡ a\operatorname{ld}\,a logarithmus dualis verwendet.

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e⁡\e (der eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit ln⁡ \ln oder oft auch log⁡\log (ohne Subskript) abgekürzt: Wenn y=exy = e^x, dann ist x=log⁡ey=ln⁡yx = \log_e y = \ln y - oder einfacher formuliert: ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x . Die Zahl ee ist z. B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion exe^x sich bei Ableitung nach xx wieder selbst reproduziert, als Formel:
ddxex=ex \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx} e^x = e^x\,
Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis ee in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auf natürliche Weise ohne Vorfaktoren auftreten. Insbesondere lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren.
Der natürliche Logarithmus von xx, also F(x)=ln⁡xF(x)=\ln x ist eine Stammfunktion der Potenzfunktion f(x)=x−1=1xf(x)=x^{-1}=\dfrac{1}{x}.

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Logarithmus aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Grundlagen der Mathematik