Rechenregeln für Logarithmen

Im folgenden gelte \(\displaystyle x, y, x_i, r, a, b> 0\) und ferner \(\displaystyle a, b\neq 1\).

Konstanten

Es gilt stets
(1)
\(\displaystyle \log_b(1)=0\) und \(\displaystyle \log_b(b)=1\).

Produkte

Den Logarithmus eines Produkt kann man als Summe von Logarithmen darstellen:
(2)
\(\displaystyle \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y\),
bzw. für beliebig viele Faktoren:
\(\displaystyle \log_b(x_1 x_2 \cdots x_n) = \log_b x_1 + \log_b x_2 + \dots + \log_b x_n \)
oder mittels Produkt- und Summenzeichen:
\(\displaystyle \log_b\prod\limits_{i=1}^n x_i = \sum\limits_{i=1}^n \log_b x_i\, \).
 
 

Quotienten

Es gilt \(\displaystyle \log_b \frac 1 y=-\log_b y\). Fasst man Quotienten als Produkte mit dem Faktor \(\displaystyle y^\me\) auf ergibt sich der Logarithmus eines Quotienten als Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor:
\(\displaystyle \log_b \dfrac xy = \log_b x - \log_b y\).

Summen und Differenzen

Weniger gebräuchlich ist die folgende Formel für Summen (bzw. Differenzen), die man aus Formel (2) herleiten kann, indem man \(\displaystyle x\) ausklammert: \(\displaystyle x\pm y = x \left(1\pm \dfrac yx\right)\, \), also:
\(\displaystyle \log_b (x \pm y) = \log_b x + \log_b \left(1 \pm \dfrac yx\right)\, \).

Potenzen

Die Regel für Produkte (2): \(\displaystyle \log_b(\underbrace{ x\cdot x \cdots x}_{n}) \) \(\displaystyle = \underbrace{ \log_b x + \log_b x + \dots + \log_b x}_n \) \(\displaystyle =n\cdot\log_b x\) lässt sich zu der für alle Potenzen mit reellen Exponenten gültigen Regel verallgemeinern:
(3)
\(\displaystyle \log_b \left(x^r\right) = r \log_b x\, \).

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, erhalten wir mit (3):
\(\displaystyle \log_b \sqrtN{n}{x} = \log_b \left(x^{\dfrac 1n}\right) = \dfrac 1n\log_b x\, \).

Basisumrechnung

Wegen \(\displaystyle y = \log_b x \Leftrightarrow x = b^y\) ergibt sich \(\displaystyle \dfrac{\log_a x}{\log_a b} = \dfrac{\log_a(b^y)}{\log_a b} = \dfrac{y \log_a b}{\log_a b} = y =\log_b x \), also für die Basisumrechnung
(4)
\(\displaystyle \log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b} \).
Logarithmen mit verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor voneinander.
Mit (1) erhalten wir den Spezialfall:
\(\displaystyle \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\) bzw. \(\displaystyle \log_a b \cdot \log_b a=1\).

Beispiel

Steht auf dem verwendeten Taschenrechner nur der natürliche Logarithmus zur Basis \(\displaystyle \e\) zur Verfügung, so lässt sich mit (4) einfach der Logarithmus zu einer anderen Basis berechnen:
\(\displaystyle \log_{8} 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 8} \)\(\displaystyle \approx\frac {2{,}302585092994} { 2{,}079441541679}\) \(\displaystyle \approx 1{,}1073093649\).

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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