Rechenregeln für Logarithmen

Im folgenden gelte x,y,xi,r,a,b>0x, y, x_i, r, a, b> 0 und ferner a,b1a, b\neq 1.

Konstanten

Es gilt stets
logb(1)=0\log_b(1)=0 und logb(b)=1\log_b(b)=1.(1)

Produkte

Den Logarithmus eines Produkt kann man als Summe von Logarithmen darstellen:
logb(xy)=logbx+logby\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y,(2)
bzw. für beliebig viele Faktoren:
logb(x1x2xn)=logbx1+logbx2++logbxn \log_b(x_1 x_2 \cdots x_n) = \log_b x_1 + \log_b x_2 + \dots + \log_b x_n
oder mittels Produkt- und Summenzeichen:
logbi=1nxi=i=1nlogbxi\log_b\prod\limits_{i=1}^n x_i = \sum\limits_{i=1}^n \log_b x_i\, .

Quotienten

Es gilt logb1y=logby\log_b \frac 1 y=-\log_b y. Fasst man Quotienten als Produkte mit dem Faktor y1y^\me auf ergibt sich der Logarithmus eines Quotienten als Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor:
logbxy=logbxlogby\log_b \dfrac xy = \log_b x - \log_b y.

Summen und Differenzen

Weniger gebräuchlich ist die folgende Formel für Summen (bzw. Differenzen), die man aus Formel (2) herleiten kann, indem man xx ausklammert: x±y=x(1±yx)x\pm y = x \left(1\pm \dfrac yx\right)\, , also:
logb(x±y)=logbx+logb(1±yx)\log_b (x \pm y) = \log_b x + \log_b \left(1 \pm \dfrac yx\right)\, .

Potenzen

Die Regel für Produkte (2): logb(xxxn) \log_b(\underbrace{ x\cdot x \cdots x}_{n}) =logbx+logbx++logbxn= \underbrace{ \log_b x + \log_b x + \dots + \log_b x}_n =nlogbx=n\cdot\log_b x lässt sich zu der für alle Potenzen mit reellen Exponenten gültigen Regel verallgemeinern:
logb(xr)=rlogbx\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x\, .(3)

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, erhalten wir mit (3):
logbxn=logb(x1n)=1nlogbx \log_b \sqrtN{n}{x} = \log_b \left(x^{\dfrac 1n}\right) = \dfrac 1n\log_b x\, .

Basisumrechnung

Wegen y=logbxx=byy = \log_b x \Leftrightarrow x = b^y ergibt sich logaxlogab=loga(by)logab=ylogablogab=y=logbx \dfrac{\log_a x}{\log_a b} = \dfrac{\log_a(b^y)}{\log_a b} = \dfrac{y \log_a b}{\log_a b} = y =\log_b x , also für die Basisumrechnung
logbx=logaxlogab \log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b} .(4)
Logarithmen mit verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor voneinander.
Mit (1) erhalten wir den Spezialfall:
logab=1logba\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} bzw. logablogba=1\log_a b \cdot \log_b a=1.

Beispiel

Steht auf dem verwendeten Taschenrechner nur der natürliche Logarithmus zur Basis e\e zur Verfügung, so lässt sich mit (4) einfach der Logarithmus zu einer anderen Basis berechnen:
log810=ln10ln8\log_{8} 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 8} 2,3025850929942,079441541679 \approx\dfrac {2{,}302585092994} { 2{,}079441541679} 1,1073093649\approx 1{,}1073093649.
 
 

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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