Rechenregeln für Logarithmen

Im folgenden gelte x,y,xi,r,a,b>0x, y, x_i, r, a, b> 0 und ferner a,b≠1a, b\neq 1.

Konstanten

Es gilt stets
log⁡b(1)=0\log_b(1)=0 und log⁡b(b)=1\log_b(b)=1.(1)

Produkte

Den Logarithmus eines Produkt kann man als Summe von Logarithmen darstellen:
log⁡b(x⋅y)=log⁡bx+log⁡by\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y,(2)
bzw. für beliebig viele Faktoren:
log⁡b(x1x2⋯xn)=log⁡bx1+log⁡bx2+⋯+log⁡bxn \log_b(x_1 x_2 \cdots x_n) = \log_b x_1 + \log_b x_2 + \dots + \log_b x_n
oder mittels Produkt- und Summenzeichen:
log⁡b∏i=1nxi=∑i=1nlog⁡bxi \log_b\prod\limits_{i=1}^n x_i = \sum\limits_{i=1}^n \log_b x_i\, .

Quotienten

Es gilt log⁡b1y=−log⁡by\log_b \frac 1 y=-\log_b y. Fasst man Quotienten als Produkte mit dem Faktor y−1y^\me auf ergibt sich der Logarithmus eines Quotienten als Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor:
log⁡bxy=log⁡bx−log⁡by\log_b \dfrac xy = \log_b x - \log_b y.

Summen und Differenzen

Weniger gebräuchlich ist die folgende Formel für Summen (bzw. Differenzen), die man aus Formel (2) herleiten kann, indem man xx ausklammert: x±y=x(1±yx) x\pm y = x \left(1\pm \dfrac yx\right)\, , also:
log⁡b(x±y)=log⁡bx+log⁡b(1±yx) \log_b (x \pm y) = \log_b x + \log_b \left(1 \pm \dfrac yx\right)\, .

Potenzen

Die Regel für Produkte (2): log⁡b(x⋅x⋯x⎵n) \log_b(\underbrace{ x\cdot x \cdots x}_{n}) =log⁡bx+log⁡bx+⋯+log⁡bx⎵n= \underbrace{ \log_b x + \log_b x + \dots + \log_b x}_n =n⋅log⁡bx=n\cdot\log_b x lässt sich zu der für alle Potenzen mit reellen Exponenten gültigen Regel verallgemeinern:
log⁡b(xr)=rlog⁡bx \log_b \left(x^r\right) = r \log_b x\, .(3)

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, erhalten wir mit (3):
log⁡bxn=log⁡b(x1n)=1nlog⁡bx  \log_b \sqrtN{n}{x} = \log_b \left(x^{\dfrac 1n}\right) = \dfrac 1n\log_b x\, .

Basisumrechnung

Wegen y=log⁡bx⇔x=byy = \log_b x \Leftrightarrow x = b^y ergibt sich log⁡axlog⁡ab=log⁡a(by)log⁡ab=ylog⁡ablog⁡ab=y=log⁡bx \dfrac{\log_a x}{\log_a b} = \dfrac{\log_a(b^y)}{\log_a b} = \dfrac{y \log_a b}{\log_a b} = y =\log_b x , also für die Basisumrechnung
log⁡bx=log⁡axlog⁡ab \log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b} .(4)
Logarithmen mit verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor voneinander.
Mit (1) erhalten wir den Spezialfall:
log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} bzw. log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b \cdot \log_b a=1.

Beispiel

Steht auf dem verwendeten Taschenrechner nur der natürliche Logarithmus zur Basis e⁡\e zur Verfügung, so lässt sich mit (4) einfach der Logarithmus zu einer anderen Basis berechnen:
log⁡810=ln⁡10ln⁡8\log_{8} 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 8} ≈2,3025850929942,079441541679 \approx\dfrac {2{,}302585092994} { 2{,}079441541679} ≈1,1073093649\approx 1{,}1073093649.
 
 

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Elementarmathematik