Komplexe Zahlen

Im Bereich der reellen Zahlen sind alle Grundrechenarten uneingeschränkt ausführbar. Dennoch haben sie einen Makel. Gleichungen wie \(\displaystyle x^2=-1\) sind nicht lösbar. Dieses Problem wird durch die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen behoben.
Die komplexen Zahlen werden hier als Paare reeller Zahlen \(\displaystyle (x,y)\) eingeführt, wobei die Rechenoperationen für zwei komplexe Zahlen \(\displaystyle z_1=(x_1,y_1)\) und \(\displaystyle z_2=(x_2,y_2)\) wie folgt definiert werden:
\(\displaystyle (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)
\(\displaystyle (x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,\, \, x_1y_2+x_2y_1)\)
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist \(\displaystyle (0,0)\), wofür man wieder \(\displaystyle 0\) schreibt; und bzgl. der Multiplikation \(\displaystyle (1,0)\), wofür man wieder \(\displaystyle 1\) schreibt.
Abkürzend setzt man \(\displaystyle \i=(0,1)\) und kann dann eine komplexe Zahl \(\displaystyle z=(x,y)\) in der Form \(\displaystyle z=x+\i y\) schreiben. Die so eingeführte Zahl \(\displaystyle \i\) heißt imaginäre Einheit.
Aus der Definition der Multiplikation ergibt sich: \(\displaystyle \i^2=\i\cdot\i=-1\), womit wir auch eine Lösung der oben aufgestellten Gleichung haben.
 
 

Satz 15W5 (Körper der komplexen Zahlen)

Die komplexen Zahlen bilden einen Körper. Für diesen verwendet man das Symbol \(\displaystyle \domC\).

Beweis

Die Körperaxiome lassen sich mit den obigen Definitionen unter Berücksichtigung, dass die reellen Zahlen einen Körper bilden, schnell verifizieren. \(\displaystyle \qed\)
Während es sich bei den reellen Zahlen um einen angeordneten Körper handelt, bei dem die Ordnung mit den Rechenoperationen verträglich ist, so ist dies bei den komplexen Zahlen nicht mehr der Fall. Die Ordnung ist so zu sagen das Opfer, das bei der Körpererweiterung der reellen Zahlen gebracht werden musste, um die neuen Eigenschaften (Lösbarkeit beliebiger algebraischer Gleichungen) zu erlangen.

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

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