Algebraische Gleichungen

Die allgemeine algebraische Gleichung hat die Form Wir wollen annehmen, dass $a_n\neq 0$ und $n\geq 1$ gilt; $n$ heißt dann der Grad der Gleichung.

Die Lösungen der algebraischen Gleichung sind die Nullstellen des zugehörigen Polynoms.

Dividieren wir die Gleichung duch $a_n$ und setzen $b_i=\dfrac {a_i}{a_n}$, ergibt sich die Normalform der algebraischen Gleichung: $x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_1x+b_0=0$.

Jede algebraische Gleichung $p_n:=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0$ mit reellen oder komplexen Koeffizienten $a_i$ ($i=0,\ldots, n-1$) besitzt im Bereich der komplexen Zahlen genau $n$ (evtl. mehrfache) Lösungen.

Wenn $x_1,x_2,\ldots ,x_r$ die Lösungen von $p_n$ mit den Vielfachheiten $k_1,\ldots ,k_r$ sind, so ist trivialerweise $\sum\limits_{i=1}^r k_i=n$ und $p_n$ besitzt folgende Produktdarstellung: $p_n=(x-x_1)^{k_1}\cdot(x-x_2)^{k_2}\cdot\ldots\cdot(x-x_r)^{k_r}=0$

Sind alle Koeffizienten in $p_n$ reell, so ist mit einer komplexen Lösung $x_z$ auch die konjugiert komplexe Zahl $\overline {x_z}$ eine Lösung der Gleichung. In der Produktdarstellung tritt daher mit dem Faktor $(x-x_z)^{k_z}$ auch der Faktor $(x-\overline {x_z})^{k_z}$ auf. Multipliziert man beide Faktoren erhält man einen Faktor der Form $(x^2+p_zx+q_z)^{k_z}$, wobei $p_z=-\sb {Re}( x_z)$ der Realteil und $q_z=|p_z|$ die Norm der komplexen Zahl ist. Beide sind reelle Zahlen und wir erhalten eine reelle Produktdarstellung der Gleichung.