Algebraische Gleichungen

Die allgemeine algebraische Gleichung hat die Form
\(\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+ a_0=0\).
Wir wollen annehmen, dass \(\displaystyle a_n\neq 0\) und \(\displaystyle n\geq 1\) gilt; \(\displaystyle n\) heißt dann der Grad der Gleichung.
Die Lösungen der algebraischen Gleichung sind die Nullstellen des zugehörigen Polynoms.
Dividieren wir die Gleichung duch \(\displaystyle a_n\) und setzen \(\displaystyle b_i=\dfrac {a_i}{a_n}\), ergibt sich die Normalform der algebraischen Gleichung: \(\displaystyle x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_1x+b_0=0\).
 
 

Satz 5219A (Fundamentalsatz der Algebra)

Jede algebraische Gleichung \(\displaystyle p_n:=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0\) mit reellen oder komplexen Koeffizienten \(\displaystyle a_i\) (\(\displaystyle i=0,\ldots, n-1\)) besitzt im Bereich der komplexen Zahlen genau \(\displaystyle n\) (evtl. mehrfache) Lösungen.
Wenn \(\displaystyle x_1,x_2,\ldots ,x_r\) die Lösungen von \(\displaystyle p_n\) mit den Vielfachheiten \(\displaystyle k_1,\ldots ,k_r\) sind, so ist trivialerweise \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^r k_i=n\) und \(\displaystyle p_n\) besitzt folgende Produktdarstellung: \(\displaystyle p_n=(x-x_1)^{k_1}\cdot(x-x_2)^{k_2}\cdot\ldots\cdot(x-x_r)^{k_r}=0\)
Sind alle Koeffizienten in \(\displaystyle p_n\) reell, so ist mit einer komplexen Lösung \(\displaystyle x_z\) auch die konjugiert komplexe Zahl \(\displaystyle \overline {x_z}\) eine Lösung der Gleichung. In der Produktdarstellung tritt daher mit dem Faktor \(\displaystyle (x-x_z)^{k_z}\) auch der Faktor \(\displaystyle (x-\overline {x_z})^{k_z}\) auf. Multipliziert man beide Faktoren erhält man einen Faktor der Form \(\displaystyle (x^2+p_zx+q_z)^{k_z}\), wobei \(\displaystyle p_z=-\sb {Re}( x_z)\) der Realteil und \(\displaystyle q_z=|p_z|\) die Norm der komplexen Zahl ist. Beide sind reelle Zahlen und wir erhalten eine reelle Produktdarstellung der Gleichung.

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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