Algebraische Gleichungen

Die allgemeine algebraische Gleichung hat die Form
anxn+an1xn1++a1x+a0=0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+ a_0=0.
Wir wollen annehmen, dass an0a_n\neq 0 und n1n\geq 1 gilt; nn heißt dann der Grad der Gleichung.
Die Lösungen der algebraischen Gleichung sind die Nullstellen des zugehörigen Polynoms.
Dividieren wir die Gleichung duch ana_n und setzen bi=aianb_i=\dfrac {a_i}{a_n}, ergibt sich die Normalform der algebraischen Gleichung: xn+bn1xn1++b1x+b0=0x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_1x+b_0=0.

Satz 5219A (Fundamentalsatz der Algebra)

Jede algebraische Gleichung pn:=xn+an1xn1++a1x+a0=0p_n:=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0 mit reellen oder komplexen Koeffizienten aia_i (i=0,,n1i=0,\ldots, n-1) besitzt im Bereich der komplexen Zahlen genau nn (evtl. mehrfache) Lösungen.
Wenn x1,x2,,xrx_1,x_2,\ldots ,x_r die Lösungen von pnp_n mit den Vielfachheiten k1,,krk_1,\ldots ,k_r sind, so ist trivialerweise i=1rki=n\sum\limits_{i=1}^r k_i=n und pnp_n besitzt folgende Produktdarstellung: pn=(xx1)k1(xx2)k2(xxr)kr=0p_n=(x-x_1)^{k_1}\cdot(x-x_2)^{k_2}\cdot\ldots\cdot(x-x_r)^{k_r}=0
Sind alle Koeffizienten in pnp_n reell, so ist mit einer komplexen Lösung xzx_z auch die konjugiert komplexe Zahl xz\overline {x_z} eine Lösung der Gleichung. In der Produktdarstellung tritt daher mit dem Faktor (xxz)kz(x-x_z)^{k_z} auch der Faktor (xxz)kz(x-\overline {x_z})^{k_z} auf. Multipliziert man beide Faktoren erhält man einen Faktor der Form (x2+pzx+qz)kz(x^2+p_zx+q_z)^{k_z}, wobei pz=Re(xz)p_z=-\sb {Re}( x_z) der Realteil und qz=pzq_z=|p_z| die Norm der komplexen Zahl ist. Beide sind reelle Zahlen und wir erhalten eine reelle Produktdarstellung der Gleichung.
 
 

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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