Äquivalente Umformungen

Eine äquivalente Umformung ist eine Umformung einer Gleichung, die die Lösungsmenge unverändert lässt.
Die Umformung der Gleichung x2=3x-2=3 zu x=5x=5 ist äquivalent, da sie die Lösungsmenge {5}\{5\} unverändert lässt.
Die Umformung der Gleichung 2x2x1=x+2\dfrac {2x-2}{x-1}=x+2 zu 2x2=(x+2)(x1)2x-2=(x+2)(x-1) ist nicht äquivalent, denn erstere Gleichung hat die Lösungsmenge L1={0}L_1=\{0\} und die zweite Gleichung hat die Lösungsmenge L2={0;1}L_2=\{0;\, 1\}. Es gilt L1L2L_1\subset L_2; um also durch Lösung der zweiten Gleichung auf die Lösungsmenge L1L_1 zu kommen, müssen Lösungskandidaten durch eine Probe ausgesondert werden. Dabei werden alle Kandidaten in die Ausgangsgleichung eingesetzt und die entstehende Aussage auf Wahrheit überprüft.
Bei einer anderen Art der Umformung können auch Lösungen verloren gehen. Nehmen wir die Gleichung x3=2x2xx^3=2x^2-x und formen diese zu x2=2x1x^2=2x-1 um so hat letztere die Lösungsmenge {1}\{1\}. Die Ausgangsgleichung hat jedoch die Lösungsmenge {0;1}\{0;\, 1\}.
 
 

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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