Äquivalente Umformungen

Eine äquivalente Umformung ist eine Umformung einer Gleichung, die die Lösungsmenge unverändert lässt.

Die Umformung der Gleichung $x-2=3$ zu $x=5$ ist äquivalent, da sie die Lösungsmenge $\{5\}$ unverändert lässt.

Die Umformung der Gleichung $\dfrac {2x-2}{x-1}=x+2$ zu $2x-2=(x+2)(x-1)$ ist nicht äquivalent, denn erstere Gleichung hat die Lösungsmenge $L_1=\{0\}$ und die zweite Gleichung hat die Lösungsmenge $L_2=\{0;\, 1\}$. Es gilt $L_1\subset L_2$; um also durch Lösung der zweiten Gleichung auf die Lösungsmenge $L_1$ zu kommen, müssen Lösungskandidaten durch eine Probe ausgesondert werden. Dabei werden alle Kandidaten in die Ausgangsgleichung eingesetzt und die entstehende Aussage auf Wahrheit überprüft.

Bei einer anderen Art der Umformung können auch Lösungen verloren gehen. Nehmen wir die Gleichung $x^3=2x^2-x$ und formen diese zu $x^2=2x-1$ um so hat letztere die Lösungsmenge $\{1\}$. Die Ausgangsgleichung hat jedoch die Lösungsmenge $\{0;\, 1\}$.