Algebren

Eine Algebra (Plural: Algebren) ist eine Verallgemeinerung des Begriffes Ring.
Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Arten von Algebren:
Dieser Artikel beschäftigt sich ausschließlich mit dem zweitgenannten Begriff.
Auch dieser Begriff "Algebra" wird in der Literatur nicht einheitlich benutzt; meist ist aber aus dem Kontext klar, welche genaue Definition gemeint ist.
Stets zutreffend ist das Folgende:
Eine Algebra \(\displaystyle A\) über einem Körper \(\displaystyle k\) ist ein \(\displaystyle k\)-Vektorraum mit einer \(\displaystyle k\)-bilinearen Verknüpfung
\(\displaystyle A\times A\to A,\)
Multiplikation genannt, die durch \(\displaystyle a \cdot b\) oder ab symbolisiert wird. (Im Falle eines beliebigen kommutativen Grundringes ist "Vektorraum" durch den allgemeineren Begriff "Modul" zu ersetzen.)
Explizit bedeutet das für Elemente \(\displaystyle x,\, y,\, z\) von \(\displaystyle A\) und Skalare \(\displaystyle \lambda \) in \(\displaystyle k\):
  • \(\displaystyle (x+y)\cdot z = xz + yz \)
  • \(\displaystyle x\cdot(y+z) = xy + xz \)
  • \(\displaystyle \lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y) \)
 
 

Weitere Attribute

Die Eigenschaften "assoziativ", "kommutativ" oder "unitär" werden häufig ohne explizite Erwähnung vorausgesetzt.
  • Eine assoziative Algebra ist eine Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt. (Häufig wird die Formulierung "assoziative Algebra" aber benutzt, um anzuzeigen, dass keine Kommutativität gefordert wird.) Eine assoziative Algebra ist ein Ring.
  • Eine kommutative Algebra ist eine (meist assoziative) Algebra, in der für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt.
  • Eine unitäre Algebra ist eine (meist assoziative) Algebra mit einem Einselement. Unitäre assoziative Algebren \(\displaystyle A\) über einem kommutativen Grundring \(\displaystyle R\) mit Einselement entsprechen unitären Ringhomomorphismen \(\displaystyle R \rightarrow A\), deren Bild im Zentrum von \(\displaystyle A\) liegt.
  • Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra, in der man "dividieren" kann, d.h. in der Gleichungen ax = \(\displaystyle b\) oder xa = \(\displaystyle b\) für \(\displaystyle a \neq\) 0 stets lösbar sind.
  • Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten (in Liealgebren wird das Produkt meist als \(\displaystyle [x,y]\) geschrieben):
    • \(\displaystyle [x,x]=0\)
    • \(\displaystyle [x,[y,z+[y,[z,x+[z,[x,y = 0\) (Jacobi-Identität)
Lie-Algebren sind bei weitem die wichtigsten nicht assoziativen Algebren.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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