Algebren

• Boolesche Algebren, insbesondere Mengenalgebren wie z.B. $\sigma$-Algebren
• Algebren über Ringen, die eine Art Synthese aus den Begriffen Vektorraum und Ring darstellen.

$A\times A\to A,$

• $(x+y)\cdot z = xz + yz$
• $x\cdot(y+z) = xy + xz$
• $\lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y)$

Weitere Attribute

• Eine assoziative Algebra ist eine Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt. (Häufig wird die Formulierung "assoziative Algebra" aber benutzt, um anzuzeigen, dass keine Kommutativität gefordert wird.) Eine assoziative Algebra ist ein Ring.
• Eine kommutative Algebra ist eine (meist assoziative) Algebra, in der für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt.
• Eine unitäre Algebra ist eine (meist assoziative) Algebra mit einem Einselement. Unitäre assoziative Algebren $A$ über einem kommutativen Grundring $R$ mit Einselement entsprechen unitären Ringhomomorphismen $R \rightarrow A$, deren Bild im Zentrum von $A$ liegt.
• Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra, in der man "dividieren" kann, d.h. in der Gleichungen ax = $b$ oder xa = $b$ für $a \neq$ 0 stets lösbar sind.
• Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten (in Liealgebren wird das Produkt meist als $[x,y]$ geschrieben):
• $[x,x]=0$
• $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]] = 0$ (Jacobi-Identität)

Lie-Algebren sind bei weitem die wichtigsten nicht assoziativen Algebren.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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