Ringhomomorphismen

Ähnlich zu den Gruppen kann man die Homomorphismen bei Ringen und Körpern definieren. Seien \(\displaystyle R\) und \(\displaystyle S\) zwei Ringe (Körper) und \(\displaystyle \phi:R\rightarrow S\) eine Abbildung. Dann ist \(\displaystyle \phi\) ein Homomorphismus, wenn für alle \(\displaystyle a,b\in R\) gilt:
\(\displaystyle \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\) und \(\displaystyle \phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot\phi(b)\)
Die anderen Vertreter des "Morphismenzoos" sind dann wie folgt definiert:
\(\displaystyle \phi\) ist Monomorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \phi\) ist injektiver Homomorphismus
\(\displaystyle \phi\) ist Epimorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \phi\) ist surjektiver Homomorphismus
\(\displaystyle \phi\) ist Isomorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \phi\) ist bijektiver Homomorphismus
\(\displaystyle \phi\) ist Endomorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \phi\) ist Homomorphismus auf sich selbst (\(\displaystyle R=S\))
\(\displaystyle \phi\) ist Automorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \phi\) ist bijektiver Endomorphismus
Die Hintereinanderausführung zweier Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus und die Umkehrung eines Isomorphismus ist ein Isomorphismus. Analog zu den Gruppen bilden die Automorphismen der Ringe und Körper eine Gruppe, die Automorphismengruppe.
Der Kern eines Homomorphismus umfasst alle Ringelemente, die auf die Ringnull abgebildet werden:
\(\displaystyle \Ker(\phi):=\{ r\in R| \phi(r)=0\}\)
 
 

Beispiele

Die komplexe Konjugation \(\displaystyle z\mapto \overline{z}\) ist ein Automorphismus in den komplexen Zahlen \(\displaystyle \domC\). Dies ergibt sich direkt aus Satz 5228C.

Einsetzungshomomorphismus

In einem Polynomring \(\displaystyle R[X]\) können wir für jedes \(\displaystyle r\in R\) den Einsetzungshomomorphismus \(\displaystyle \phi_r:R[X]\rightarrow R\) für ein \(\displaystyle f=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k\) als \(\displaystyle \phi_r(f)=f(r)=\sum\limits_{k=0}^na_kr^k\) definieren. Er ordnet also jedem Polynom aus \(\displaystyle R[X]\) den Wert, den es an der Stelle \(\displaystyle r\) annimmt zu. Gilt \(\displaystyle f(s)=0\) für ein \(\displaystyle s\in R\), so heißt s Nullstelle des Polynoms.

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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