Ringhomomorphismen

Ähnlich zu den Gruppen kann man die Homomorphismen bei Ringen und Körpern definieren. Seien RR und SS zwei Ringe (Körper) und φ:R→S\phi:R\rightarrow S eine Abbildung. Dann ist φ\phi ein Homomorphismus, wenn für alle a,b∈Ra,b\in R gilt:
φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b) und φ(a⋅b)=φ(a)⋅φ(b)\phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot\phi(b)
Die anderen Vertreter des "Morphismenzoos" sind dann wie folgt definiert:
φ\phi ist Monomorphismus   ⟺  \iff φ\phi ist injektiver Homomorphismus
φ\phi ist Epimorphismus   ⟺  \iff φ\phi ist surjektiver Homomorphismus
φ\phi ist Isomorphismus   ⟺  \iff φ\phi ist bijektiver Homomorphismus
φ\phi ist Endomorphismus   ⟺  \iff φ\phi ist Homomorphismus auf sich selbst (R=SR=S)
φ\phi ist Automorphismus   ⟺  \iff φ\phi ist bijektiver Endomorphismus
Die Hintereinanderausführung zweier Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus und die Umkehrung eines Isomorphismus ist ein Isomorphismus. Analog zu den Gruppen bilden die Automorphismen der Ringe und Körper eine Gruppe, die Automorphismengruppe.
Der Kern eines Homomorphismus umfasst alle Ringelemente, die auf die Ringnull abgebildet werden:
ker(φ):={r∈R∣φ(r)=0}\Ker(\phi):=\{ r\in R| \phi(r)=0\}

Beispiele

Die komplexe Konjugation z↦z‾z\mapto \overline{z} ist ein Automorphismus in den komplexen Zahlen C\domC. Dies ergibt sich direkt aus Satz 5228C.

Einsetzungshomomorphismus

In einem Polynomring R[X]R[X] können wir für jedes r∈Rr\in R den Einsetzungshomomorphismus φr:R[X]→R\phi_r:R[X]\rightarrow R für ein f=∑k=0nakXkf=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k als φr(f)=f(r)=∑k=0nakrk\phi_r(f)=f(r)=\sum\limits_{k=0}^na_kr^k definieren. Er ordnet also jedem Polynom aus R[X]R[X] den Wert, den es an der Stelle rr annimmt zu. Gilt f(s)=0f(s)=0 für ein s∈Rs\in R, so heißt s Nullstelle des Polynoms.
 
 

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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