Faktorring

Definition

[a] + [b] := [a+b]

[a] · [b] := [a · b]

Beispiele

• Die Menge $n\Z$ aller ganzzahligen Vielfachen von $n$ ist ein Ideal in $\Z$, und der Faktorring $\Z/n\Z$ ist der Restklassenring modulo $n$.
• Ist $f\in R[X]$ ein Polynom über einem Integritätsring $R$, dann ist die Menge $R[X]\cdot f = (f)$ aller Polynom-Vielfachen von $f$ ein Ideal im Polynomring $R[X]$, und $R[X]/(f) = \{g + (f) | g \in R[X]\}$ ist der Faktorring $R[X]$ modulo $f$.
• Betrachten wir das Polynom $f = X^2+1$ über dem Körper $\R$ der reellen Zahlen, so ist der Faktorring $\R[X]/(f)$ isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von $X$ entspricht dabei der imaginären Einheit $\mathrm{i}$. Rechenbeispiele: Das Polynom $X^2$ liegt wegen $X^2 = f-1$ in derselben Äquivalenzklasse modulo $f$ wie $-1$. Für das Produkt $[X+1]\cdot [X+2]$ ermitteln wir $[X+1]\cdot[X+2] = [(X+1)\cdot(X+2)] = [X^2+3X+2] = [3X+1]$
• Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern $\Bbb F_p=\Z/p\Z$.

Eigenschaften

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

Ringe und Körper

• Grundlegende Eigenschaften
• Ideale und Homomorphismen
  • Ideale
  • Faktorringe
• Körpererweiterungen
• Angeordnete Körper