Maximales Ideal

Sei RR ein kommutativer Ring und m⊊R\mathfrak{m} \subsetneq R ein Ideal. Wir nennen m\mathfrak{m} maximal oder ein maximales Ideal, wenn für alle Ideale a⊆R\mathfrak{a} \subseteq R gilt:
Aus m⊊a \mathfrak{m} \subsetneq \mathfrak{a} folgt a=R\mathfrak{a} = R
In anderen Worten: Ein Ideal m⊊R\mathfrak{m} \subsetneq R ist maximal, wenn es nicht echte Teilmenge eines echten (vom ganzen Ring verschiedenen) Ideals von RR ist.

Bemerkungen

Mit Hilfe des Lemmas von Zorn kann man zeigen, dass jedes Element aus RR, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss. Insbesondere besitzt jeder Ring mit 1 ein maximales Ideal.
Sei m\mathfrak{m} ein Ideal von RR. Der Faktorring L=R/mL = R/\mathfrak{m} ist genau dann ein Körper, wenn m\mathfrak{m} maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
Jedes maximale Ideal ist ein Primideal. Dies folgt aus der letzten Bemerkung und daraus, dass jeder Körper ein Integritätsbereich ist.
Jedes Ideal, welches nicht RR ist, ist in einem maximalen Ideal enthalten.

Beispiele

Im Ring Z\mathbb{Z} der ganzen Zahlen ist jedes Primideal außer dem Nullideal maximal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig; Integritätsbereiche mit dieser Eigenschaft heißen eindimensional.
Sei C(R)\sb C(\mathbb R) der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen mit der punktweisen Multiplikation. Betrachte den Ringhomomorphismus
ev0 ⁣:C(R)→R\mathrm{ev}_0\colon \sb C(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}, f↦f(0) f \mapsto f(0)\,
Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von ev0\mathrm{ev}_0 ist R\mathbb{R}, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit f(0)=0f(0) = 0, ein maximales Ideal.
 
 

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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