Ein Integritätsring oder Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1=/0. Integritätsringe sind Verallgemeinerungen der ganzen Zahlen und bilden den allgemeinsten Rahmen für die Untersuchung von Teilbarkeiten.
Alternativ kann man einen Integritätsring definieren als einen kommutativen Ring mit 1, in dem das Nullideal {0} ein Primideal ist, oder als einen Teilring eines Körpers.
Jeder Körper ist ein Integritätsring. Umgekehrt ist jeder artinsche Integritätsring ein Körper. Insbesondere ist jeder endliche Integritätsring ein endlicher Körper.
Ein Polynomring ist ein Integritätsring, wenn die Koeffizienten aus einem Integritätsring stammen. Zum Beispiel ist der RingZ[X] der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ein Integritätsring, ebenso wie der RingR[X,Y] der reellen Polynome in zwei Variablen.
Sind a und b Elemente des Integritätsrings R, dann sagt man a teiltb oder a ist ein Teiler vonb oder bist ein Vielfaches vona, wenn es ein Element x in R gibt, so dass ax=b. Man schreibt dann a∣b.
Gilt a∣b und b∣c, dann folgt daraus a∣c.
Gilt a∣b, dann gilt auch a∣bc für jedes c aus R, insbesondere auch a∣−b.
Gilt a∣b und a∣c, dann gilt auch a∣b+c und a∣b−c.
Gilt a | b und b | a, dann heißen a und b zueinander assoziiert. a und b sind genau dann assoziiert, wenn es eine Einheitu gibt, so dass au=b.
Ist q keine Einheit, dann heißt qirreduzibel, falls q nicht als Produkt zweier Nicht-Einheiten darstellbar ist, falls also aus q=ab folgt: a∈R∗ oder b∈R∗.
Ist p eine Nicht-Einheit ungleich 0, dann heißt pprim (oder Primelement), falls gilt: Aus p | ab folgt p | a oder p | b.
Jedes Primelement ist irreduzibel (für diese Aussage wird die Nullteilerfreiheit des Rings benötigt), aber nicht immer ist jedes irreduzible Element prim (z.B. im RingZ[−3] sind 2, 1+−3 und 1−−3 irreduzibel aber nicht prim). In faktoriellen Ringen (engl. unique factorization domain, UFD) ist dagegen jedes irreduzible Element prim.
Der Begriff des Primelements verallgemeinert den Begriff der Primzahl. Primzahlen werden üblicherweise als irreduzible Elemente von Z definiert, was aber nichts ausmacht, da in Z jedes irreduzible Element prim ist.
Ist R ein Integritätsring, dann existiert ein kleinster KörperQuot(R), der R als Teilring enthält. Quot(R) ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und heißt Quotientenkörper von R. Seine Elemente haben die Form a/b mit a,b in R, b ungleich 0.
Quotientenkörper kann man über Lokalisierungen an R ohne 0 konstruieren.
Abstrakt definiert man Quotientenkörper durch folgende universelle Eigenschaft: Ein Quotientenkörper ist ein Paar (K,φ), wobei φ ein Ringhomomorphismus von R nach K ist mit der Eigenschaft: Für jeden KörperL und Ringhomomorphismusψ:R→L, gibt es genau einen Körperhomomorphismus α:K→L mit ψ(x)=α(φ(x)) für alle x aus R.
Ist R ein Integritätsring mit der Primzahl-Charakteristik p, dann ist die Abbildungf:R→R, x↦xp ein injektiver Ringhomomorphismus und heißt Frobeniushomomorphismus.
Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.