Monoidringe

Seien RR Ring und MM Monoid. Ein Monoidring ist die folgende Menge von Abbildungen
R[M]:={(am)m∈M ∈Abb(M,R)∣am=0 R[M]:=\{ (a_m)_{m\in M}\, \in \Abb(M,R)|a_m=0 für fast alle m} m \}
mit der Zuordnungsvorschrift M∋m↦am∈R M\ni m\mapsto a_m\in R . Die ama_m heißen Koeffizienten und nach Definition sind nur endlich viele verschieden von 00. R[M]R[M] ist Ring mit komponentenweiser Addition:
(am)m∈M+(bm)m∈M (a_m)_{m\in M}+(b_m)_{m\in M}:=(am+bm)m∈M :=(a_m+b_m)_{m\in M}
und der Faltung als Multiplikation: (am′)m∈M⋅(bm′′)m′′∈M:=(∑{(m′,m′′)∣m=m′+m′′}am′⋅bm′′) (a_{m'})_{m\in M}\cdot (b_{m''})_{m''\in M}:=\left( \sum\limits_{ \{ (m',m'')|m=m'+m'' \}}a_{m'}\cdot b_{m''} \right)
Dabei ist 0=(0)m∈M 0=(0)_{m\in M} und 1=(am)m∈M 1=(a_m)_{m\in M} mit  am={1, m=00,sonst \ a_m= \begin{cases} 1,\ &m=0\\ 0,&\text{sonst} \end{cases} .
Monoidringe sind eine Verallgemeinerung von Polynomringen. Man verwendet hier auch die intuitive Schreibweise:
(am)m∈M=:∑m∈Mamxm (a_m)_{m\in M}=:\sum\limits_{m\in M}a_m x^m .
Außerdem werden alle Terme mit am=0a_m=0 fortlassen. Etwa: M=N M=\mathbb{N},  R=Q \ R=\mathbb{Q} und 54x3+3x2 \dfrac{5}{4}x^3+3x^2.

Bemerkung

RR und MM sind auf natürliche Weise in R[M]R[M] eingebettet. φ:R→R[M]\varphi:R\rightarrow R[M] mit λ∈R, φ(λ):=λ⋅x0 \lambda\in R,\ \varphi(\lambda):=\lambda\cdot x^0 ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Durch φ\varphi wird R[M]R[M] zu eine RR-Algebra. Insbesondere ist im Falle eines Körpers R=KR=K der Monoidring K[M] K[M] ein K K -Vektorraum. Ebenso definieren wir ψ:M→R[M]\psi: M\rightarrow R[M] mit ψ(n)=xn\psi(n)=x^n.
 
 

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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