Nullteiler

Ein Nullteiler eines kommutativen Ringes RR ist ein vom Nullelement verschiedenes Element aa, für das es ein Element bb ungleich 0 gibt, so dass ab=0ab = 0.
Ist RR ein nichtkommutativer Ring und a≠0a \ne 0, dann unterscheidet man stattdessen zwischen:
  • Linksnullteiler: es gibt ein Element b≠0b \ne 0, so dass ab=0ab = 0
  • Rechtsnullteiler: es gibt ein Element b≠0b \ne 0, so dass ba=0ba = 0
  • (beidseitiger) Nullteiler: es gibt Elemente b,c≠0b, c \ne 0, so dass ac=0ac = 0 und ca=0 ca = 0.
Ein Ring ohne einseitige oder beidseitige Nullteiler heißt nullteilerfrei.
Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 heißt Integritätsring.

Beispiele

Der Ring Z\mathbb{Z} der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring Z2=Z×Z\mathbb{Z}^2=\domZ\cross \domZ (mit komponentenweise Addition und Multiplikation) enthält die Nullteiler (0,1)(0, 1) und (1,0)(1, 0), denn (0,1)⋅(1,0)=(0,0)(0, 1) \cdot (1, 0) = (0, 0).
Jeder Körper ist nullteilerfrei.
Der Restklassenring Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} hat die Nullteiler 2 und 3, denn 2⋅3≡0mod  62 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6.
Allgemein ist für eine natürliche Zahl n>1n>1 der Restklassenring Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn nn eine Primzahl ist.
Der Matrizenring der reellen 2x2-Matrizen enthält den Nullteiler
1 12 2 \matrix {{1 \, 1 } { 2 \, 2} }
denn
1 12 2⋅1 1−1 −1= \matrix {{1 \, 1 } { 2 \, 2} } \cdot\matrix {{1 \, 1 } { {-1} \, {-1}} }= 2 −12 −1⋅1 12 2=0 00 0\matrix {{2 \, {-1} } {2 \, {-1} } }\cdot \matrix {{1 \, 1 } { 2 \, 2} } = \matrix{{ 0 \, 0}{ 0 \, 0}}
Allgemein sind die Nullteiler im Ring der n-mal-n-Matrizen über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen mit Determinante 0 (hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern).

Eigenschaften

Idempotente Elemente ungleich 1 eines Rings sind Nullteiler, denn aus a2=aa^2 = a folgt a⋅(a−1)=(a−1)⋅a=0a \cdot (a - 1) = (a - 1) \cdot a = 0. Nilpotente Elemente ungleich 0 (xx mit xn=0x^n = 0 für ein n∈Nn \in \mathbb{N}) sind trivialerweise Nullteiler.
Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre aa invertierbar und ab=0ab = 0, dann wäre 0=a−1⋅0=a−1ab=b0= a^{-1} \cdot 0 = a^{-1}ab = b.
In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement (1⋅a=a⋅1=a1 \cdot a = a \cdot 1 = a für alle aa) gilt diese Aussage nur so: Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. (Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.)
Ist aa ein Linksnullteiler, dann ist offensichtlich für jedes bb das Produkt baba ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich Null. Das Produkt abab muss aber kein Links- oder Rechtsnullteiler sein.
 
 

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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