Beispiele für Ringe und Körper

Der einfachste mögliche Ring besteht nur aus der Ringnull und heißt Nullring.

Der einfachste mögliche Körper besteht aus Null und Eins.

Die ganzen Zahlen $\domZ$ sind ein unitärer kommutativer Ring, sogar ein Integritätsbereich aber kein Körper.

Die rationalen Zahlen $\domQ$, die rellen Zahlen $\domR$ und die komplexen Zahlen $\domC$ sind typischer Beispiele für Körper.

Ist $K$ ein Körper, so bezeichnen wir mit $\Mat(m\cross n, K)$ die Menge aller $m\cross n$-Matrizen mit Elementen aus $K$. Im Fallen $m=n$ bildet $\Mat(n\cross n, K)$ einen Ring bezüglich der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation, den so genannten Matrizenring. Das Nullelement ist die Nullmatrix, bestehend nur aus Nullen. Das Einselement ist die Einheitsmatrix, bei der auf der Hauptdiagonalen Einsen stehen und ansonsten Nullen.

Der Ring ist im Allgemeinen weder nullteilerfrei noch kommutativ, wie die folgenden Beispiele aus $\Mat(2\cross 2, \domR)$ zeigen:

$\matrix { { 1 0} {0 0}}\cdot \matrix { { 0 0} {0 1}}=\matrix { { 0 0} {0 0}}$

$\matrix { { 1 2} {2 1}}\cdot \matrix { { 1 1} {2 2}}=\matrix { {5 5} {4 4}}$

$\matrix { { 1 1} {2 2}}\cdot\matrix { { 1 2} {2 1}}=\matrix { {3 3} {6 6}}$