Diagonalmatrizen

Ist bei einer quadratischen Matrix nur die Hauptdiagonale mit von Null verschiedenen Werten belegt, spricht man von einer Diagonalmatrix. Die Multiplikation zweier Diagonalmatrizen gestaltet sich besonders einfach und ergibt wieder eine Diagonalmatrix. Es gilt:
(a110⋯00a22⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯ann)⋅(b110⋯00b22⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯bnn)\pmatrix { a_{11} &0& \cdots& 0 \\ 0 &a_{22} &\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots& \vdots\\ 0 &0& \cdots& a_{nn} }\cdot\pmatrix { b_{11} &0& \cdots& 0 \\ 0 &b_{22} &\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots& \vdots\\ 0 &0& \cdots& b_{nn} }=(a11b110⋯00a22b22⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯annbnn)= \pmatrix { a_{11}b_{11} &0& \cdots& 0 \\ 0 &a_{22}b_{22} &\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots& \vdots\\ 0 &0& \cdots& a_{nn}b_{nn} }
 
 

Einheitsmatrix

Eine Diagonalmatrix, deren Elemente nur aus Einsen bestehen, heißt Einheitsmatrix.
Meistens wird der Buchstabe EE für die Einheitsmatrix gewählt.
E=(10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1)E=\pmatrix { 1 &0& \cdots& 0 \\ 0 &1 &\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots& \vdots\\ 0 &0& \cdots& 1 }
Wie man sich leicht überzeugt, gilt für jede Matrix A∈Mat(n×n,K)A\in\Mat(n\cross n,K):
A⋅E=E⋅A=AA\cdot E=E\cdot A= A.
Die Einheitsmatrix ist also neutrales Element bezüglich der Matrizenmultiplikation.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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