Addition von Matrizen

Seien \(\displaystyle A=\pmatrix { a_{11}& \cdots& a_{1n} \\ \vdots && \vdots \\ a_{m1} &\cdots & a_{mn} }\) und \(\displaystyle B=\pmatrix { b_{11}& \cdots& b_{1n} \\ \vdots && \vdots \\ b_{m1} &\cdots & b_{mn} }\) zwei Matrizen aus \(\displaystyle \Mat(m\cross n, K)\). Dann definieren wir ihre Summe \(\displaystyle A+B\) komponentenweise für die Matrixelemente, also:
\(\displaystyle A+B:= \pmatrix { {a_{11}+b_{11}} &\cdots &{a_{1n}+b_{1n}}\\ \vdots && \vdots\\ {a_{m1}+b_{m1} } &\cdots &{a_{mn}+b_{mn}} }\)
Es ist unmittelbar klar, dass \(\displaystyle \Mat(m\cross n, K)\) mit der so definierten Addition eine Gruppe bildet. Das neutrale Element dieser Gruppe ist die Nullmatrix, deren Elemente alle \(\displaystyle 0\) sind.
Definieren wir nun für \(\displaystyle \lambda \in K\) die Matrix \(\displaystyle \lambda A\) als diejenige, bei der die Elemente aus \(\displaystyle A\) komponentenweise mit \(\displaystyle \lambda\) multipliziert wurden:
\(\displaystyle \lambda A:= \pmatrix { {\lambda a_{11}} &\cdots &{\lambda a_{1n}} \\ \vdots && \vdots \\ {\lambda a_{m1} } &\cdots &{\lambda a_{mn}} }\)
 
 

Bemerkung 15YI

\(\displaystyle \Mat(m\cross n, K)\) durch die komponentenweise Addition und diese skalare Multiplikation zu einem Vektorraum über dem Körper \(\displaystyle K\).
Dieser Vektorraum besitzt die Dimension \(\displaystyle mn\) und hat eine Basis, die aus den Matrizen besteht, die genau eine \(\displaystyle 1\) und den Rest Nullen als Elemente haben.

Beispiel

Die Matrix \(\displaystyle \pmatrix {1& 2 \\ 3& 4}\) aus \(\displaystyle \Mat(2\cross 2, \domR)\) lässt sich als \(\displaystyle 1\cdot \pmatrix {{1\, 0}\\ { 0\, 0}}+2\cdot \pmatrix {{0\, 1} \\{ 0\, 0}}+3\cdot \pmatrix {{0\, 0} \\{ 1\, 0}}+4\cdot \pmatrix {{0\, 0} \\{ 0\, 1}}\) schreiben.

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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