Definitheit von Matrizen

Jede quadratische Matrix beschreibt eine Bilinearform auf V=RnV = \R^n Man nennt eine quadratische Matrix deshalb positiv definit, wenn die durch die Matrix definierte Bilinearform positiv definit ist. Entsprechend definiert man auch die anderen Eigenschaften. Dies bedeutet: Eine beliebige (ggf. symmetrische) (n×n)(n\times n)-Matrix AA ist
positiv definit, falls vTAv>0v^TAv > 0
positiv semidefinit, falls vTAv≥0v^TAv \geq 0
negativ definit, falls vTAv≤0v^TAv \leq 0
negativ semidefinit, falls vTAv<0v^TAv < 0
für alle nn-zeiligen Spaltenvektoren v≠0v \neq 0, wobei vTv^T den transponierten Zeilenvektor vv bezeichnet.
Eine Matrix, die weder positiv noch negativ semidefinit ist, nennt man indefinit. In diesem Fall nehmen vTAvv^TAv (bzw. vTAvv^TAv) sowohl positive als auch negative Werte an.
 
 

Satz CAMB (Definitheit und Symmetrischer Anteil)

Eine reelle quadratische Matrix AA ist genau dann positiv definit, wenn ihr symmetrischer Teil
AS=12(A+AT) A_S = \dfrac{1}{2} \left(A + A^T\right)
positiv definit ist. Entsprechendes gilt für "negativ definit" und "positiv" bzw. "negativ semidefinit".

Beweis

Unter Benutzung von Satz 15XT.
Sei AA positiv definit und 0!=v∈V0!=v\in V beliebig. vTAv>0v^TAv>0   ⟹  vTATv=(vTAv)T>0\implies v^TA^Tv=(v^TAv)^T>0   ⟹  12(vTAv+vTATv)>0\implies \dfrac 1 2 (v^TAv+ v^TA^Tv)>0   ⟹  vT(12(A+AT)v>0\implies v^T\left(\dfrac 1 2(A+A^T\right)v>0.
Sei 12(A+AT)\dfrac{1}{2} \left(A + A^T\right) positiv definit und 0!=v∈V0!=v\in V beliebig. Dann gilt 0<vT⋅12(A+AT)v0<v^T\cdot\dfrac 1 2\left(A+A^T\right)v =12(vTAv+vTATv)=\dfrac 1 2\left(v^TAv+ v^TA^Tv\right) =12(vTAv+(vTAv)T)=\dfrac 1 2\left(v^TAv+ (v^TAv)^T\right). Nun gilt vTAv=(vTAv)Tv^TAv=(v^TAv)^T, da das transponierte einer reellen Zahl diese selbst ist. Also vTAv>0v^TAv>0 und damit ist AA positiv definit.
Für die anderen Arten der Definitheit kann der Beweis durch Austauschen der Relationszeichen analog geführt werden. □\qed

Die Definitheit einer Matrix bestimmt das Vorzeichen der Eigenwerte und umgekehrt. Es gilt:

Satz CAMC (Definitheit und Eigenwerte)

Eine quadratische symmetrische Matrix ist genau dann
  • positiv definit, wenn alle Eigenwerte größer als Null sind,
  • positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind,
  • negativ definit, wenn alle Eigenwerte kleiner als Null sind,
  • negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind und
  • indefinit, wenn positive und negative Eigenwerte existieren.

Beweisskizze

Sei AA eine Matrix und λ\lambda ein beliebiger Eigenwert. Dann gilt für alle v∈Vv\in V: Av=λvAv=\lambda v, also auch
vTAv=λ(vTv)v^TAv=\lambda {(v^Tv)} (1)
Da nun vTv>0v^Tv>0, falls v≠0v\neq 0, entsprechen in (1) positive Eigenwerte genau den positiv definiten Matrizen, da anders die Gleichung nicht für beliebige vv zu erfüllen ist. □\qed

Cholesky-Zerlegung

Eine symmetrische Matrix AA ist genau dann positiv definit, wenn es eine Cholesky-Zerlegung A=GGTA=G G^T gibt, wobei GG eine reguläre untere Dreiecksmatrix ist.

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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