Definitheit von Matrizen

Jede quadratische Matrix beschreibt eine Bilinearform auf \(\displaystyle V = \R^n\) Man nennt eine quadratische Matrix deshalb positiv definit, wenn die durch die Matrix definierte Bilinearform positiv definit ist. Entsprechend definiert man auch die anderen Eigenschaften. Dies bedeutet: Eine beliebige (ggf. symmetrische) \(\displaystyle (n\times n)\)-Matrix \(\displaystyle A\) ist
positiv definit, falls \(\displaystyle v^TAv > 0\)
positiv semidefinit, falls \(\displaystyle v^TAv \geq 0\)
negativ definit, falls \(\displaystyle v^TAv \leq 0\)
negativ semidefinit, falls \(\displaystyle v^TAv < 0\)
für alle \(\displaystyle n\)-zeiligen Spaltenvektoren \(\displaystyle v \neq 0\), wobei \(\displaystyle v^T\) den transponierten Zeilenvektor \(\displaystyle v\) bezeichnet.
Eine Matrix, die weder positiv noch negativ semidefinit ist, nennt man indefinit. In diesem Fall nehmen \(\displaystyle v^TAv\) (bzw. \(\displaystyle v^TAv\)) sowohl positive als auch negative Werte an.
 
 

Satz CAMB (Definitheit und Symmetrischer Anteil)

Eine reelle quadratische Matrix \(\displaystyle A\) ist genau dann positiv definit, wenn ihr symmetrischer Teil
\(\displaystyle A_S = \dfrac{1}{2} \left(A + A^T\right) \)
positiv definit ist. Entsprechendes gilt für "negativ definit" und "positiv" bzw. "negativ semidefinit".

Beweis

Unter Benutzung von Satz 15XT.
Sei \(\displaystyle A\) positiv definit und \(\displaystyle 0!=v\in V\) beliebig. \(\displaystyle v^TAv>0\) \(\displaystyle \implies v^TA^Tv=(v^TAv)^T>0\) \(\displaystyle \implies \dfrac 1 2 (v^TAv+ v^TA^Tv)>0\) \(\displaystyle \implies v^T\left(\dfrac 1 2(A+A^T\right)v>0\).
Sei \(\displaystyle \dfrac{1}{2} \left(A + A^T\right)\) positiv definit und \(\displaystyle 0!=v\in V\) beliebig. Dann gilt \(\displaystyle 0<v^T\cdot\dfrac 1 2\left(A+A^T\right)v\) \(\displaystyle =\dfrac 1 2\left(v^TAv+ v^TA^Tv\right)\) \(\displaystyle =\dfrac 1 2\left(v^TAv+ (v^TAv)^T\right)\). Nun gilt \(\displaystyle v^TAv=(v^TAv)^T\), da das transponierte einer reellen Zahl diese selbst ist. Also \(\displaystyle v^TAv>0\) und damit ist \(\displaystyle A\) positiv definit.
Für die anderen Arten der Definitheit kann der Beweis durch Austauschen der Relationszeichen analog geführt werden. \(\displaystyle \qed\)
Die Definitheit einer Matrix bestimmt das Vorzeichen der Eigenwerte und umgekehrt. Es gilt:

Satz CAMC (Definitheit und Eigenwerte)

Eine quadratische symmetrische Matrix ist genau dann
  • positiv definit, wenn alle Eigenwerte größer als Null sind,
  • positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind,
  • negativ definit, wenn alle Eigenwerte kleiner als Null sind,
  • negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind und
  • indefinit, wenn positive und negative Eigenwerte existieren.

Beweisskizze

Sei \(\displaystyle A\) eine Matrix und \(\displaystyle \lambda\) ein beliebiger Eigenwert. Dann gilt für alle \(\displaystyle v\in V\): \(\displaystyle Av=\lambda v\), also auch
(1)
\(\displaystyle v^TAv=\lambda {(v^Tv)}\)
Da nun \(\displaystyle v^Tv>0\), falls \(\displaystyle v\neq 0\), entsprechen in (1) positive Eigenwerte genau den positiv definiten Matrizen, da anders die Gleichung nicht für beliebige \(\displaystyle v\) zu erfüllen ist. \(\displaystyle \qed\)

Cholesky-Zerlegung

Eine symmetrische Matrix \(\displaystyle A\) ist genau dann positiv definit, wenn es eine Cholesky-Zerlegung \(\displaystyle A=G G^T\) gibt, wobei \(\displaystyle G\) eine reguläre untere Dreiecksmatrix ist.

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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