Spur einer Matrix

Die Summe der Elemente der Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix A=a11⋯a1n⋮ ⋮an1⋯annA=\matrix { {a_{11} \cdots a_{1n}} {\vdots \, \vdots} { a_{n1} \cdots a_{nn} } } nennt man die Spur von AA und bezeichnet sie mit spur⁡A\spur A:
spur⁡A=a11+⋯+ann=∑k=1nakk \spur A=a_{11}+\dots+a_{nn} =\sum\limits_{k=1}^n a_{kk},
damit ist die Spur eine Abbildung vom Matrizenring Mat(n,K)\Mat(n,K) in den unterliegenden Körper KK. Andere Bezeichnungen für die Spur sind auch tr⁡A\operatorname{tr} A, trace⁡A\operatorname {trace} A oder sp⁡A\operatorname{sp} A.
 
 

Satz C9K9 (Eigenschaften der Spur)

Seien AA und BB zwei quadratische n×nn\cross n-Matrizen. Dann gilt
  1. Die Spur ist eine lineare Abbildung. Für α\alpha, β∈K\beta\in K gilt:
    spur⁡(αA+βB)=α⋅spur⁡(A)+β⋅spur⁡(B)\spur(\alpha A+\beta B)=\alpha\cdot \spur(A)+\beta\cdot\spur(B).
  2. spur⁡(AB)=spur⁡(BA)\spur(AB)=\spur(BA)
    Die Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, jedoch dürfen bei der Spurbildung die Faktoren vertauscht werden.

Beweis

Seien A=(aij)i,j=1…nA=(a_{ij})_{i,j=1\dots n} und B=(bij)i,j=1…nB=(b_{ij})_{i,j=1\dots n}. i) spur⁡(αA+βB)=∑k=1n(αakk+βbkk)\spur(\alpha A+\beta B) =\sum\limits_{k=1}^n(\alpha a_{kk}+\beta b_{kk}) =α∑k=1nakk+β∑k=1nbkk=\alpha\sum\limits_{k=1}^n a_{kk}+\beta \sum\limits_{k=1}^n b_{kk} =α⋅spur⁡(A)+β⋅spur⁡(B)=\alpha\cdot \spur(A)+\beta\cdot\spur(B).
ii) spur⁡(AB)=∑k=1n∑i=1naki⋅bik\spur(AB)= \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{i=1}^n a_{ki}\cdot b_{ik} =∑i=1n∑k=1nbik⋅aki=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n b_{ik} \cdot a_{ki} =spur⁡(BA)=\spur(BA). □\qed

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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